Уравнения Барнетта

Второе приближение решения уравнения Больцмана приводит к гидродинамическому уравнению Барнетта. [c.144]

Следует отметить также, что при использовании уравнений Барнегга необходимо заново формулировать граничные условия, так как порядок уравнений Барнетта выше, чем порядок уравнений Навье—Стокса, и обычно задг.вае-мых в модели Навье—Стокса условий недостаточно. [c.140]

Применение уравнений движения разреженных газов (уравнений Барнетта) к расчету конкретных потоков, в частности к пограничному слою, представляет пока еще непреодолимые трудности. В работах этого нового направления физической механики газов продолжают пользоваться уравнениями Навье — Стокса, но в качестве граничных условий принимают в том или другом виде условия скольжения и аккомодации. В настоящее время имеются специальные руководства по динамике разреженного газа ). [c.656]

Положительная информация, которую могут дать двадцати-или тринадцатимоментные уравнения при малых числах Кнудсена, содержится в уравнениях Барнетта. Вся дополнительная информация, содержащаяся в двадцати- и тринадцатимоментных уравнениях, имеет тот же порядок, что и отброшенная при их получении, т. е. О(е ). [c.116]

Выражения (6.9) соответствуют приближению Навье — Стокса. Оставляя три члена ряда и исключая производные по t из второго члена с помощью уравнений Навье — Стокса и из третьего с помощью уравнений Эйлера, получим функцию распределения барнеттовского приближения. Подставляя ее в выражения для тензора напряжений и вектора потока тепла, входящие в уравнения сохранения (1.8)—(1.10), получим уравнения Барнетта, и т. д. [c.129]

Чтобы получить большую, чем п.о теории Навье — Стокса точность, были сделаны попытки применить уравнения Барнетта и три-надцатимоментные уравнения Града. Однако оказалось, что уравнения Барнетта при числах М>2,1 и уравнения Града при числах М > 1,65 не имеют решений ). [c.304]

Граничные условия для уравнений Барнетта могут быть установлены подобно тому, как они были выше установлены для уравнений Навье — Стокса. При этом только в разложениях (1.10) и (1.11) необходимо сохранить по три члена. [c.333]

Подставляя ряд (1.4) в уравнение Больцмана и приравнивая коэффициенты при равных степенях получают рекуррентную систему уравнений для определения и т. д. При построении решения методом Знскога — Чепмена /<°) " /о функция выражается через производные от гидродинамических величин п, и и Т и т. д. Зная функции можно выписать любые гидродинамические (макроскопические) величины в частности, это позволяет выразить тензор напряжений и вектор потока тепйа через п, ии Т и их производные. Заменяя в общих уравнениях сохранения тензор напряжений и вектор потока тепла через гидродинамические величины, при оставлении в ряде (1.4) одного члена получим уравнения Эйлера, при двух — уравнения Навье—Стокса, при трех—уравнения Барнетта и т. д. ). Важно отметить, что кинетическая теория позволяет не только найти связи между тензором напряжения и вектором потока тепла и производными от гидродинамических величин, но и выразить входящие в эти связи коэффициенты пропорциональности (коэффициенты переноса) через известные свойства молекул. Этот метод используется для определения коэффициентов вязкости, теплопроводности и других переносных свойств газов и газовых смесей в широком диапазоне давлений и температур, для которых чрезвычайно трудно получить экспериментальные значения. [c.426]

Вообще говоря, при увеличении чисел Кнудсена, когда уравнения Навье — Стокса уже несправедливы, можно воспользоваться уравнениями Барнетта, получившимися в методе Энскога — Чепмена при оставлении трех членов ряда (1.4). Однако сложность этих уравнений не-оставляет [c.429]

С помощью газодинамических уравнений высших приближений метода Чепмена -Энскога в ряде случаев удалось значительно расширить область применимости моделей течений газа как сплошной среды (макроскопических моделей) при конечных числах Кнудсена Кп. В первую очередь это относится к уравнениям Барнетта, но иногда используются и газодинамические уравнения следующего (супербарнеттова) приближения [1-3]. [c.185]

Приложения уравнений Барнетта начались с задачи о распространении звука [4, 5]. Важное значение этим уравнениям придавалось в основополагающей для динамики разреженного газа работе [6]. Позже такая позиция укрепилась тем фактом, что уравнения Навье - Стокса не являются, вообще говоря, строгим асимптотическим (при Кп 0) следствием кинетических уравнений в отличие от уравнений Эйлера или Прандтля. Оказалось [3], что для пограничного слоя отношение максимальных бар-неттовых и даже супербарнеттовых членов уравнений сохранения к слагаемым уравнений Прандтля порядка (5/L)2 Re Кп 1 (при числе Маха М = 0(1)), где 5-толщина слоя, L - размер тела. Re - число Рейнольдса. Такой же величины те слагаемые уравнений Навье - Стокса, которые не учитываются в уравнениях пограничного слоя первого (Прандтля) и второго порядков. [c.185]

Получалось, что уравнения Навье - Стокса можно уточнять за счет высших приближений метода Чепмена - Энскога. Однако многочисленные расчеты и сравнения с опытом показали, что эти уравнения являются очень удачным приближением, справедливым в более широкой области параметров, чем это следовало из оценок. В аэродинамике установилось отношение к ним, как к строго обоснованным. В то же время отношение к уравнениям Барнетта практически стало отрицательным. Основной причиной было то, что не удалось получить их решение для задачи о структуре ударной волны при М> 1,9 путем численного интегрирования вверх по потоку. Описанная ситуация не изменилась, когда были указаны примеры того, что уравнения Навье - Стокса не дают правильной асимптотики при Кп -> О (например, в случае медленных неизотермических течений приближение Навье - Стокса недостаточно, так как необходим учет температурных напряжений [3]). [c.186]

Выяснилось, что уравнения Барнетта в большой мере уточняют решение уравнений Навье - Стокса для профилей газодинамических переменных в сильной ударной волне, особенно для температуры [1-3] Более того, для газа из молекул-упругих сфер барнеттовы профили близки к точным, рассчитываемым при помощи кинетического уравнения Больцмана, хотя для газа максвелловских молекул между этими профилями имеются значительные расхождения в низкотемпературной зоне [2]. [c.186]

В разд. 4 и 5 соответственно выведены уравнения и рассмотрены результаты решения задачи о цилиндрическом течении Куэтта. В [8, 9] эта задача решена с использованием уравнений Барнетта. Применен метод возмущений с неопределенной [c.187]

Обобщение модификации уравнений Барнетта [1] проводится следующим образом. Обозначим через [c.188]

Система усеченных уравнений Барнетта будет иметь вид [c.189]

Система усеченных неоднородных уравнений Барнетта будет состоять из уравнения [c.189]

Покажем, как сделанные выше обобщения моделей [1,2] влияют на решение задачи о структуре сильной ударной волны. При выводе [1] усеченных неоднородных уравнений Барнетта, описывающих структуру ударной волны, в формулах для р , Ях давление исключалось с помощью уравнения состояния, в неоднородные части пере- [c.190]

Фиг. 1. Профили приведенной температуры Г в ударной волне при М = 5 (а - молекулы - упругие сферы, б - максвелловские молекулы) 1 - расчеты методом прямого статистического моделирования 2 - решение для макроскопической модели 3 - решение усеченных неоднородных уравнений Барнетта 4 - решение уравнений Навье -Стокса. Пунктир - расчеты [1,2]

Результаты всех макроскопических теорий с граничными условиями скольжения первого порядка при Кп = 0,406 близки друг к другу, особенно для скорости и температуры, где соответствующие графики практически сливаются. При Кп = 1,065 (фиг. 4) ухудшается точность усеченных неоднородных уравнений Барнетта (особенно для р, где меняется знак градиента). Неожиданным и обнадеживающим результатом явилась довольно высокая точность макромодели при Кп= 1,065 для всех газодинамических переменных она дала лучшие (или почти одинаковые) результаты по сравнению с приближением Навье - Стокса при использовании граничных условий первого порядка. [c.197]

Бузыкин О.Г., Галкин B. ., Носик В.И. Модификации уравнений Барнетта и задача о структуре ударной волны // Изв. РАН. МЖГ. 1998. № 3. С. 164-176. [c.198]

Галкин B. ., Носик В.И. О модификации уравнений Барнетта на примере задачи о распространении звука // Изв. РАН. МЖГ. 1999. № 3. С. 126-133. [c.198]

Таким образом, кинетическое уравнение Больцмана может быть подвергнуто сокращению до уравнения, описывающего только медленный гидродинамический процесс в газе, которое в разных приближениях дается соответственно уравнениями Эйлера, Навье—Стокса, Барнетта и т. д. [c.136]

Уравнение Эйлера (26а) определяет движение идеальной жидкости. Для получения уравнений гидродинамики реальной (вязкой) жидкости или газа надо искать решение уравнения Больцмана, отличное от локального распределения Максвелла. Мы получим тогда уравнения Навье—Стокса, Барнетта и т. д., в которых коэффициенты вязкости, теплопроводности и диффузии выражаются через молекулярные характеристики. Эти уравнения представляют собой замкнутую систему уравнений термодинамики необратимых процессов. Такой вывод этих уравнений в общем случае выходит за рамки нашего курса. Мы ограничимся здесь только характеристикой методов решения кинетического уравнения Больцмана и рассмотрим ряд частных задач статистической теории неравновесных систем. [c.142]

С тех пор как уравнение Навье—Стокса было в 1822 г. впервые предложено Навье, а позже (1845) усовершенствовано Стоксом, оно нашло широкое экспериментальное подтверждение его математической теории было уделено значительное внимание. Математическая теория уравнения типа Барнетта не разработана, поэтому ни один результат с помощью этого уравнения не был получен. [c.144]

На двух примерах обнаруживается удивительное совпадение между порядком уравнений систем Эйлера и Навье— Стокса и числом членов в ряде (3.8.1). Взяв один член ряда, получим систему Эйлера, уравнения которого имеют первый порядок, а взяв два, — уравнения системы Навье—Стокса, имеющие второй порядок. Если с помощью метода Энскога получить уравнения сохранения в третьем приближении, то мы получим систему Барнетта, уравнения которой имеют третий порядок. Эта система уравнений имеет довольно громоздкий вид, и ее вывод лежит за рамками данного курса. [c.139]

Следует также отметить, что уравнения Эйлера, Навье— Стокса и Барнетта становятся, как показал В. В. Стру-минский [15], применимыми лишь при времени, превышающем время формирования функции распределения, близкой к локальной максвелловской, так как в основу решения уравнения Больцмана по методу Энскога положена ф/нк-ция Максвелла, характеризующая равновесное состонние (см. также [1]). [c.140]

Барнетт использовал форму уравнения Макбета для получения одного из наиболее точных соотношений для расчета кризиса в кольцевых каналах в области давлений около 7 МПа [c.77]

После Подстановки значений Ср. Сл, Ср в уравнение теплового баланса формулу Барнетта можно записать в виде [c.77]

Известно, что решение уравнения Больцмана в первом приближении приводит уравнение (1-5-9) к форме уравнения Навье—Стокса. Второе приближение, найденное Барнеттом по методу Чепмена—Энскога, вводит в систему уравнений движения новые члены, которые уже в какой-то степени учитывают изменения градиентов скоростей и температур на средней длине свободного пути молекул. Существует решение уравнения Больцмана и в третьем приближении. Оно известно под названием супербарнеттовского решения. [c.37]

В работах [5.61, 5.69, 5.72, 5.84] сжимаемость газообразного фреона-14 определяли методом Барнетта, но результаты измерений сообщаются, как правило, в форме уравнений изотерм или табличных значений вириальных коэффициентов. Исключением является работа Ланге, Штейна [5.69], в которой кроме Si и В2 приведены экспериментальные значения z в интервале Т== = 203—368 К и р 8 МПа. [c.194]

В главе III будет показано, что уравнения гидродинамики Эйлера, Навье — Стокса и Барнетта для максвелловских молекул получаются из уравнения Больцмана, если функцию распределения приближенно представить в виде [c.64]

К уравнениям Навье — Стокса, Барнетта и т. д. можно прийти также с помощью полных уравнений моментов. [c.113]

Рассмотрим бесконечную цепочку моментных уравнений. Первые пять уравнений — это уравнения сохранения (1.8) — (1.10), в которые кроме пяти гидродинамических величин п, а Т входят моменты второго и третьего порядков Pij и qi. Для построения уравнений Навье—Стокса, Барнетта и т. д. необходимо выразить последние через гидродинамические величины и их производные. [c.113]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...