Ньютона — Котеса

Решение системы уравнений движения, удовлетворяющее граничным условиям (2,14)-(2,16), выпо.таено численным методом интегральных соотношений [90] в его гиперболическом варианте [91], Применялась дивергентная форма записи в переменных z,l,z = /w l), где г = 0 образ сильного разрыва, = w l) непротекаемая стенка. Аппроксимирующая система дифференциальных уравнений получена разбиением интервала ге[0,1] на пять полос и при.менением интерполяционных квадратур типа Ньютона-Котеса, Итоговая система обыкновенных дифференциальных урав- [c.47]

Опыт использования формул (6.14)—(6.19) показал, что результаты, полученные с их помощью, существенно зависят от шага квантования процесса. Чем этот шаг меньше, тем выше точность. Однако практически сделать этот шаг достаточно малым затруднительно, поэтому соотношения (6.6)—(6.8) чаще более целесообразно использовать в записи через интегралы и спектральную плотность процесса S (w). Построение состоятельной оценки S ( ) по К (т) было рассмотрено выше. Для вычисления интегралов в формулах (6.6)—(6.8) целесообразно использовать соотношения Ньютона-Котеса [c.229]

При решении контактной задачи в качестве исходного приближения выбирается решение линейной бесконтактной задачи. Эффективность подобного подхода при решении контактных задач нелинейной теории оболочек продемонстрирована в работах [121,127, 1291. Линейные краевые задачи решаются методом ортогональной прогонки С. К. Годунова. Коэффициенты матрицы [С] и вектора [D] (11.27) получаем численным интегрированием по формулам Ньютона — Котеса четвертого порядка. Уравнения (11.24) — (11.29), дополненные граничными условиями (П. 12) и условиями сопряжения (11.23), полностью определяют НДС осесимметрично нагруженной конструкции из оболочек вращения на п-т приближении итерационного процесса. Если необходимо получить ряд решений при пошаговом изменении нагрузки q, то начальное приближение для находим экстраполяцией по решениям для. ... .. Процесс последовательных приближений заканчивается, когда модуль максимального относительного расхождения компонент yt вектора решения Y для каждой точки ортогона-лизации меньше наперед заданного значения [c.39]

Точки li, в котс ых необходимо вычислять подынтегральную функцию, выбирают различными способами. Один из способов заключается в том, что интервал (—1,1) делят на несколько равных отрезков, концы которых принимают в качестве точек интегрирования. Получаемые при этом квадратурные формулы носят общее название формул Ньютона—Котеса. В этом способе положение п точек h задают заранее, и в формуле (5.91) необходимо определить лишь весовые коэффициенты at. Их можно искать из условия, чтобы формула (5.91) давала точный результат для следующих подынтегральных функций / (S) 1.. ... Это дает столько уравнений, сколько необхо- [c.187]

Другой способ заключается в том, что положения точек не задают заранее. Их определяют из условия, чтобы квадратурная формула (5.91) при фиксированном числе п имела максимально высокий порядок. Здесь в качестве неизвестных выступают не только весовые коэффициенты а , но и значения 1г, и можно потребовать, чтобы формула (5.91) давала точный результат для функций 1, I, 1 ,. .., Получающиеся отсюда 2п уравнений позволяют найти 2п неизвестных at и Формулы численного интегрирования, построенные таким способом, имеют порядок 2п — 1 и носят название квадратурных формул Гаусса. Интегрирование по Гауссу требует при одинаковой степени точности почти вдвое меньшего числа точек, чем в случае использования формул Ньютона—Котеса. Вычисление подынтегральных функций связано обычно со значительными затратами машинного времени, вследствие чего формулы Ньютона — Котеса в методе конечных элементов практически не применяются. [c.188]

Так, если функция у = /( ) задана на стандартном промежутке [—I, +1] (а этого всегда можно добиться линей-. ным преобразованием переменной), то получаем квадратурную формулу Ньютона — Котеса [c.229]

Это позволяет построить и точно проинтегрировать полином степени 2п—1. Ошибка интегрирования будет иметь порядок 0(А) ", т. е. в общем случае существенно меньше, чем при использовании квадратурной формулы Ньютона — Котеса. [c.230]

Какие частные случаи формулы Ньютона — Котеса Вы знаете [c.236]

Счет квадратур проводился с использованием формул Ньютона-Котеса. Интегрирование по толщине слоя выполнялось по четырехточечной формуле Ньютона. Были просчитаны девиа-торы напряжений и деформаций в различные моменты времени и под- [c.348]

Методы численного интегрирования классифицируются в зависимости от того, заданы ли значения аргумента через равные интервалы или нет. Так, метод Ньютона — Котеса требует, чтобы значения х были заданы с постоянным шагом, а метод Гаусса не налагает такого ограничения. Перейдем к рассмотрению этих двух методов. [c.221]

Простейшая из формул Ньютона — Котеса получается при интегрировании методом трапеций, сущность которого составляет линейная аппроксимация подынтегральной функции. Соседние точки (хг, Уi) и (хг+ь / +1), заданные таблицей в интервале соединяются прямыми. Если Хо=а, а х =Ь, то интеграл будет представлять собой сумму площадей п трапеций высотой /г каждая Выразив определенный интеграл через заданные в таблице значения функции, получим [c.222]

При использовании метода Ньютона — Котеса значения функции должны задаваться с постоянным шагом по оси х. Если снять это ограничение, то шаг, с которым задаются значения функции, можно выбрать так, чтобы ошибка аппроксимации была как можно меньше. В этом и состоит сущность метода Гаусса. [c.225]

Формулы Ньютона — Котеса при га = 3, 5 менее выгодны с точки зрения величины оценки их остаточных членов. При больших га эти формулы неудобны из-за того, что коэффициенты Н/, велики и имеют чередующиеся знаки. [c.659]

Весовые коэффициенты квадратурной формулы Ньютона — Котеса до четвертого порядка [c.258]

Карта с параметрами 346 Квадратура Гаусса — Лежандра 259 Ньютона — Котеса 258 Комплекс Элеменг 30 Координат преобразования 253 [c.389]

Квадратура Ньютона — Котеса ). Сначала априори выбираются точки, обычно равноотстоящие друг от друга, в которых вычисляются значения функций. Затем строится полином, [c.159]

Фиг. 8.9. Интегрирование методами Ньютона — Котеса (а) и Гаусса (6). Оба метода позволяют точно проинтегрировать полиийм седьмой степени (т. е. погрешность имеет порядок 0(Д )).

Так как п значений функции определяют полином степени ге — 1, ошибка имеет порядок 0(Д)", где Д —расстояние между точками. В результате получаем известные квадратурные формулы Ньютона — Котеса, в соответствии с которыми интеграл можно записать в виде [c.160]

Здесь будут представлены лишь два важнейших метода метод Гаусса, широко используемый при интегрировании на элементах, но требующий вычисления в определенном числе особых точек, и метод Ньютона - Котеса, который позволяет вычислять интегралы только в точках, определенных пользователем, и который также очень полезен для интегрирования на линиях или поверхностях, для которых расчет гауссовых координат не является необходимым и где достаточно равномерного распределения точек. [c.82]

В теории численного интегрирования известно много способов определения интегралов, тем не менее применительно к методу конечных элементов и к задачам апостериорной обработки (вычисление интегралов) метод Гаусса имеет преимущества при интегрировании на элементах, так как он требует меньше вычислений и обеспечивает высокую точность, а метод Ньютона Котеса лучше для вычисления криволинейных интегралов, где применение эквидистантных координат упрощает расчеты, чего нет в методе Гаусса Напомним, наконец, что для п точек на одномерном сегменте метод Ньютона-Котеса имеет порядок (и — 1), тогда как метод Гаусса-(2и — 1) [c.87]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...