Схема Кранка-Николсона явная

Кроме предельных случаев явной (ст = 0) и чисто неявной (а=1) схем достаточно часто применяют схему с весом а =1/2, называемую схемой Кронка — Николсона. Эта схема имеет более высокий (второй) порядок аппроксимации по времени Нт Н = = О (Ат + Л ), а также является безусловно устойчивой. Однако схема Кранка — Николсона имеет недостаток, который мы обсудим далее, в конце 3.3. [c.83]

Для явной схемы (при о= 0) условие (3.55) совпадает с условием устойчивости (3.30). Для схемы Кранка — Николсона (при [c.95]

Упражнение. Исходя из равенства (3.276), показать, что если шаг А/ в схеме Кранка — Николсона превышает критическое для явной схемы ВВЦП значение то будут иметь место обусловленные чрезмерно большим шагом по времени осцилляции фурье-компоненты с длиной волны Л = 2Ах, [c.131]

Поэтому, несмотря на то что при использовании неявных схем допустимы крупные шаги по времени, на каждом шаге, вообше говоря, требуется выполнение большого числа итераций. При этом неявная схема уже не дает выигрыша по сравнению с многократным применением явной схемы. Вследствие этого такие неявные схемы не находят непосредственного применения для решения многомерных гидродинамических задач ). Единственным исключением является уравнение пограничного слоя (разд. 6.4) здесь диффузией в направлении потока пренебрегают, а вдоль другой координатной оси к уравнению диффузии применяется схема Кранка — Николсона ), так что в этом случае получается трехдиагональная система уравнений. [c.134]

Для жесткого уравнения dTldt = аТ написать явную схему, полностью неявную схему и схему Кранка — Николсона. Найти условия статической и динамической устойчивости, [c.535]

В практических задачах времт тоже должно быть дискретизировано, что предполагает применение метода конечных разностей. Например, схема- Кранка — Николсона симметрична относительно п+1/2 при вычислении uf tn+ ) через и потому имеет точность порядка At . Таким образом, окончательно вычисленное приближение содержит эту ошибку, как и ошибку метода Галёркина, вызванную дискретизацией по х. Последнюю из них мы проанализируем подробно и покажем, что при к 2т ее оптимальный порядок для 5-й производной тоже р -вен Этот результат применяется к уравнениям параболического типа, например к уравнению теплопроводности Ь — эллиптический оператор того же типа, что и в стационарных задачах. В случае гиперболических уравнений, не содержащих диссипативных членов, возможности метода конечных элементов несколько меньше трудности в сравнении с явными разностными методами- могут оказаться слишком большими. Тем не менее даже в этом случае достигнуты значительные результаты исследование границ можно проводить почти автоматически в гл. 7 включен набросок теории метода конечных элементов для гиперболического случая. [c.139]

В качестве разностного аналога уравнения (10.1) в данной работе используется схема Кранка — Николсона, наиболее часто применяемая при численном решении дифференциальных уравнений параболического типа. В этой схеме дискретное представление осуществляется в момент At(n + 1/2), где п - номер шага по Времени, т. е. в момент между двумя временными слоями с известными и неизвестными искомыми значениями функций. Преимуществом схемы Кранка - Николсона является ее безусловная устойчивость, не зависящая от соотношения величин Ах и At, где Ах и At — дискретные шаги по пространству и времени соответственно. При этом, однако, неизвестные в полученной системе уравнений содержатся неявно, что обусловливает либо одновременное их вычисление, либо вычисление с применением итеративных методов, которые требуют больших временнь1х затрат по сравнению с явными схемами. Однако это неудобство, типичное для всех неявных схем, компенсируется выбором больших дискретных шагов по времени, величина которых зависит от требуемой точности. [c.283]

Для 1 — os 0 = 0 имеем G = 1. Рассмотрим теперь случай, когда 1— os 0>O. Если ->0, то G->-l (как это и должно быть при Ai- 0). Если d- oo, то G—1. Таким образом, схема Кранка — Николсона абсолютно устойчива и Gj l для больших S.t но большие по величине At приводят к обусловленным чрезмерно большим шагом по времени осцилляциям некоторых фурье-компонент. Это наводит на мысль, что схема Кранка — Николсона второго порядка при достаточно больших А/ будет менее точной, чем явная схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной (схема ВВЦП). Действительно, это получается [c.130]

Явная, Кранка—Николсона и полностью неявная схемы. Для явной схемы (о = 0) уравнение (5.82) принимает вид [c.156]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...