Схема Кранка-Николсона

Кроме предельных случаев явной (ст = 0) и чисто неявной (а=1) схем достаточно часто применяют схему с весом а =1/2, называемую схемой Кронка — Николсона. Эта схема имеет более высокий (второй) порядок аппроксимации по времени Нт Н = = О (Ат + Л ), а также является безусловно устойчивой. Однако схема Кранка — Николсона имеет недостаток, который мы обсудим далее, в конце 3.3. [c.83]

Для явной схемы (при о= 0) условие (3.55) совпадает с условием устойчивости (3.30). Для схемы Кранка — Николсона (при [c.95]

Схема Кранка—Николсона (а = 1/2) считается безусловно устойчивой [3, 57, 73, 79]. Однако при больших шагах по времени или недостаточно густой пространственной сетке коэффициент, стоящий перед Фр, в дискретном аналоге (5.82) может стать отрицательным, т.е. [c.156]

Следует отметить, что при малых Дт полностью неявная схема не так точна, как схема Кранка—Николсона. Существуют схемы [47, 73, 79], которые имеют достоинства обеих схем (о = 1,0= 1 /2) и не имеют их недостатков. Однако эти схемы значительно сложнее в реализации и не всегда отличаются более высокой вычислительной эффективностью, по сравнению с полностью неявной схемой и схемой Кранка—Николсона. [c.156]

Выражение (4.29) представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка, для решения которой используется известный метод Кранка-Николсона, основанный на арифметическом усреднении производной зависимой переменной в начале и в конце каждого шага по времени. Результирующая система уравнений, реализующая разностную схему Кранка-Николсона, имеет вид [c.91]

Для аппроксимации производной по времени используем схему Кранка-Николсона [c.114]

Это уравнение аналогично (5.19), полученному посредством использования схемы Кранка-Николсона. Таким образом, схема Кранка-Николсона есть реализация метода NDIM при линейной аппроксимации производной по времени. [c.115]

Таким образом, член нагрузки в правой части схемы Кранка—Николсона имеет вид [c.118]

Формулы для подсчета элементарного матричного уравнения приведены в табл. 5.1. Формула (5.138) адекватна схеме Кранка-Николсона. [c.143]

Проверим, когда выполняется условие (4.16) в случае схемы Кранка-Николсона 4 .1). Подставим в (4.16) выражения (4.7) для bj, j [c.33]

С конечноразностными методами, может сравнить полученное выше разностное уравнение со стандартной конечноразностной аппроксимацией простейшего уравнения диффузии, такой, например, как схема Кранка — Николсона. Аналогичное сравнение можно провести между уравнением (6.12) и стандартными конечноразностными аппроксимациями волнового уравнения. [c.164]

Данная схема называется также схемой Кранка — Николсона. Как будет указано ниже, это название лучше подходит к схеме для уравнения диффузии, такой, как схема (3.273). [c.129]

Такое же усреднение по времени, примененное к уравнению диффузии (3.257), приводит к известной схеме Кранка — Николсона [1947], также имеющей ошибку порядка 0 А( ,Ах ) [c.130]

Упражнение. Исходя из равенства (3.276), показать, что если шаг А/ в схеме Кранка — Николсона превышает критическое для явной схемы ВВЦП значение то будут иметь место обусловленные чрезмерно большим шагом по времени осцилляции фурье-компоненты с длиной волны Л = 2Ах, [c.131]

Поэтому, несмотря на то что при использовании неявных схем допустимы крупные шаги по времени, на каждом шаге, вообше говоря, требуется выполнение большого числа итераций. При этом неявная схема уже не дает выигрыша по сравнению с многократным применением явной схемы. Вследствие этого такие неявные схемы не находят непосредственного применения для решения многомерных гидродинамических задач ). Единственным исключением является уравнение пограничного слоя (разд. 6.4) здесь диффузией в направлении потока пренебрегают, а вдоль другой координатной оси к уравнению диффузии применяется схема Кранка — Николсона ), так что в этом случае получается трехдиагональная система уравнений. [c.134]

Если ставятся граничные условия градиентного типа, то схема Кранка — Николсона в этом случае может привести к неустойчивости (Ф. Блоттнер, личное сообщение). [c.134]

Для жесткого уравнения dTldt = аТ написать явную схему, полностью неявную схему и схему Кранка — Николсона. Найти условия статической и динамической устойчивости, [c.535]

В практических задачах времт тоже должно быть дискретизировано, что предполагает применение метода конечных разностей. Например, схема- Кранка — Николсона симметрична относительно п+1/2 при вычислении uf tn+ ) через и потому имеет точность порядка At . Таким образом, окончательно вычисленное приближение содержит эту ошибку, как и ошибку метода Галёркина, вызванную дискретизацией по х. Последнюю из них мы проанализируем подробно и покажем, что при к 2т ее оптимальный порядок для 5-й производной тоже р -вен Этот результат применяется к уравнениям параболического типа, например к уравнению теплопроводности Ь — эллиптический оператор того же типа, что и в стационарных задачах. В случае гиперболических уравнений, не содержащих диссипативных членов, возможности метода конечных элементов несколько меньше трудности в сравнении с явными разностными методами- могут оказаться слишком большими. Тем не менее даже в этом случае достигнуты значительные результаты исследование границ можно проводить почти автоматически в гл. 7 включен набросок теории метода конечных элементов для гиперболического случая. [c.139]

Исследуем схему Кранка — Николсона, записанную симметричным образом относительно (п4- /2)А/ и потому имеюш,ую по времени второй порядок точности [c.283]

Наконец,, схема Кранка — Николсона также устойчива — без ограничений на величину At. Разностный оператор на каждом шаге имеет те же собственные векторы, что и матрица М К, так как он задается равенством [c.285]

Так как каждое число Я неотрицательно, то [ . < 1, и потому схема Кранка — Николсона автоматически устойчива. Затухание основной собственной функции регулируется ее коэффициентом усиления (г, сравнимым с истинным коэффициентом усиления ехр(—уравнения Галёркина на каждом временном шаге [c.286]

Так как меньше, то эта компонента решения убывает в конечно-разностном уравнении несколько быстрее. Различие между [г и ехр(—Я А/)имеет порядок А/ , отражающий точность второго порядка схемы Кранка — Николсона. [c.286]

В конечно-разностном случае высокочастотные компоненты не затухают со все более высокими скоростями. ПриЯ ->оо коэффициент усиления 1 . сходится к —I, и веса при высоких частотах изменяют знак на каждом временном шаге. Этого нет в уравнении Галёркина или в полностью неявной разностной схеме. В последней = (1Я А/) и очевидно, что при Я ->-оо. Для схемы Кранка — Николсона, однако, коэффициент станет отрицательным и начнет расти по абсолютной величине при Я/ 2/А/. Наивысшая частота, которую сетка может удержать , равна она обычно превышает 2/А/. Поэтому очень высокие частоты (возможно, присутствующие лишь в малом количестве) действительно ослабляются менее сильно, чем умеренные. Если бы это представило какую-нибудь трудность, то, как и в гиперболических задачах, можно было бы добавить простой диссипативный член. [c.286]

Подчеркнем, что этот способ отыскания границ ошибок очень прост. С такой же легкостью он приводит к ошибкам порядка O(Ai ) в схеме Кранка — Николсона. Может показаться, что его простота требует, чтобы для возможности применения оценок ошибок в собственных значениях и собственных функциях из предыдущей главы пространственная часть задачи была самосопряженной, но на самом деле это предположение несущественно. Действительно, существует простая- формула, полностью обходящая теорию собственных значений, — она относит развивающуюся ошибку к основным оценкам стационарных задач. При одно и той же начальной функции в обоих уравнениях различие в их решениях в момент t описывается формулой [c.287]

В качестве разностного аналога уравнения (10.1) в данной работе используется схема Кранка — Николсона, наиболее часто применяемая при численном решении дифференциальных уравнений параболического типа. В этой схеме дискретное представление осуществляется в момент At(n + 1/2), где п - номер шага по Времени, т. е. в момент между двумя временными слоями с известными и неизвестными искомыми значениями функций. Преимуществом схемы Кранка - Николсона является ее безусловная устойчивость, не зависящая от соотношения величин Ах и At, где Ах и At — дискретные шаги по пространству и времени соответственно. При этом, однако, неизвестные в полученной системе уравнений содержатся неявно, что обусловливает либо одновременное их вычисление, либо вычисление с применением итеративных методов, которые требуют больших временнь1х затрат по сравнению с явными схемами. Однако это неудобство, типичное для всех неявных схем, компенсируется выбором больших дискретных шагов по времени, величина которых зависит от требуемой точности. [c.283]

Для 1 — os 0 = 0 имеем G = 1. Рассмотрим теперь случай, когда 1— os 0>O. Если ->0, то G->-l (как это и должно быть при Ai- 0). Если d- oo, то G—1. Таким образом, схема Кранка — Николсона абсолютно устойчива и Gj l для больших S.t но большие по величине At приводят к обусловленным чрезмерно большим шагом по времени осцилляциям некоторых фурье-компонент. Это наводит на мысль, что схема Кранка — Николсона второго порядка при достаточно больших А/ будет менее точной, чем явная схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной (схема ВВЦП). Действительно, это получается [c.130]

Во многих тестовых расчетах схемы низкого порядка точности приводят к довольно точным результатам при грубых Ал и Ai см. Сайрус и Фалтон [1967], Чен [1968], Хемминг [1962, с. 210], а также примеры, приведенные в разд. 3.1.8. (По мнению Чена [1970а], схемы второго порядка, грубо говоря, являются оптимальными.) В действительности при часто желаемых больших Ai можно ожидать исчезновения преимущества схем, имеющих высокий порядок точности во времени. Например, в разд. 3.1.14 указывалось, что схема Кранка — Николсона с ошибкой Е — О при применении к уравнению диф- [c.171]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...