ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Автоколебания в динамической системе с ударными взаимодействиями из "Вибрации в технике Справочник Том 2 " Исследование автоколебаний, возможных в динамической системе (24), сводится к изучению свойств точечного отображения (см. п. 5 гл. II) плоскости if = О в себя в трехмерном фазовом пространстве, разбиение которого на траектории симметрично относительно начала координат [12]. [c.182] Фазовые траектории, лежащие для i ) О на цилиндрических поверхностях г= се — 1, всякий раз пересекая плоскость ф = О, с течением времени могут попасть на пластинку скользящих движений [уравнения (24в)[ и затем либо в состояние равновесия ц = г = О, которое при (А + В) - 4В является устойчивым узлом, а при А + 5) 4В устойчивым фокусом, либо на край пластинки и снова в пространство 1 ) 0. [c.182] На плоскости л з = О введем три области ((L (и, г) В) V ((L (и, г) = В) Д А (и А + В))), о, ((L (и, г) S) V (( - (и г) = -В) Л (и - (Л + S)))) и g (я)) = 0/О( + О]). Пусть точка (иц, г ) = а , а (и , г ) е V g. Обозначим отображение точки в М , осуществляемое по траекториям системы (24а), через Т, а отобрамсение точки М(, е g в точку О (О, 0) или в точку Mi (L (ui, Zi) = —В, 2 е о, осуществляемое по траекториям системы (24в), через S. [c.182] В уравнениях (26), (27) предполагается если б = 4S — (Л + BY О, то р] = = os т, срг = sin т, если б = (Л + Bf — 4S О, то ф, = h т, фз = sh т. [c.182] Это условие не выполняется. Поэтому неподвижная точка, а следовательно, и соответствующий ей автоколебательный режим неустойчивы. [c.183] В рассматриваемой динамической системе без зоны нечувствительности единственным устойчивым элементом является точка (О, 0), Областью устойчивости в большом состояния равновесия будет при Л Гз О, S О, Л + S — 1 О все фазовое пространство. Если Л + S — 1 О, Л Г- О, S О и выполняется условие (29), то в фазовом пространстве существует неустойчивое периодическое движение, состоящее из двух симметричных кусков траекторий, расположенных соответственно в полупространствах ф О и -ф О (неустойчивый предельный цикл). [c.183] Геометрическим местом точек фазового пространства, имеющих своими предельными точками при /- -00 предельный цикл, будет незамкнутая поверхность, проходящая через предельный цикл [3]. Она делит фазовое пространство на две части Содержащую начало координат (внутреннюю) и не содержаи1ую его (внешнюю). Внутренняя часть заполнена траекториями, имеющими предельную точку — состояние равновесия эта часть и является областью притяжения последнего Внешняя часть заполнена траекториями, имеющими предельные точки в бесконечности. Это означает, что если начальное отклонение от точки (О, 0) гаково, что изображающая точка не вышла из границ внутренней области, то в системе установится равновесный режим, если же начальное отклонение настолько велико, что изображающая точка перешла во внешнюю область, то отклонение с течением времени будет неограниченно возрастать. Если параметры системы связаны противоположным неравенству (31) соотношением, то в фазовом пространстве также существует неустойчивое периодическое движение. [c.183] Когда в системе отсутствует обратная связь 5 = 0, на плоскости ( ) = О пластинка скользящих движений стягивается в прямую L и, г) = О и неподвижной точки на ней не существует Если при этом демпфирование мало (О -й Л 1), то отрезок А (А — 1) 1 г Л (1 — Л) прямой L (и, г) = О является устойчивым отрезком покоя Если коэффициент обратной связи В отрицательный при S 0, Л + В — 1 0, то в системе (24) существует периодический режим движения, который соответствует устойчивым незатухающим колебаниям (автоколебаниям). [c.183] Пусть (и , 2 ) и Ml (ui, 2j) (gi- / i)- Тогда отображение Г+ определим как All = где индекс отображения означает, что движение изображающей точки происходит в подпространстве Ф . [c.184] Периодическое движение асимптотически устойчиво, если выполняются неравенства (31). Как и в случае отсутствия зоны нечувствительности (ifo = 0), первое неравенство не выполняется, и, следовательно, неподвижная точка М (и соответствующее ей периодическое движение без участков скольжения) будет неустойчива. [c.185] Область существования автоколебаний иа плоскости параметров А, В представлена на рис. 17. [c.185] Аналогично можно исследовать вопрос о возникновении автоколебаний, выходящих за зону нечувствительности При этом отметим, что область существования автоколебательных режимов в пространстве параметров уменьшается. [c.185] При Л О уравнения (37), (38) определяют движение изображающих точек в полосе двухслойного фазового пространства системы, а при Л О — в полосе П [З]. На рис 18 показана фазовая траектория движения Г, начинающаяся в полосе при X 0. Непосредственно из вида траектории Г следует, что если при / = О Л О, то фазовые траектории системы при возрастании t выходят из части х О, О s X h полосы и вновь в нее не возвращаются. Аналогично можно показать, что фазовые траектории, начинающиеся в полосе П при X О, с течением времени выходят из части этой полосы, располагающейся при х 0. [c.186] Направление фазовых траекторий внутри II вне части полосы О д /г, ограниченной изоклинами горизонтальных касательных, показано на рис. 19. Из рассмотрения приведенных фазовых траекторий следует, что в системе могут существовать только замкнутые траектории, охватывающие отрезок 0 x ft, =0и располагающиеся в ограниченной части полосы О х h. [c.187] Но тогда при R ф I и Y О одновременно точечное отображение сжимающее, и согласно теореме Брауэра [121 на полупрямой О, дг = О существует единственная неподвижная точка точечного отображения Т ,. Это и доказывает, что в системе всегда существует единственный разрывный предельный цикл (разрывный — в силу гипотезы о мгновенном ударе частицы об электроды конденсатора). [c.187] Соотношения (49)—(52) позволяют сценить количественно влияние сопротивления среды и массы частицы на размер предельного цикла и длительность периода автоколебания. [c.188] Вернуться к основной статье