ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Понятия об устойчивости, грубости, чувствительности из "Вибрации в технике Справочник Том 2 " Проблемы устойчивости и чувствительности механических систем возникают в связи с неизбежными отклонениями (возмущениями) начальных условий, параметров внешнего возбуждения и параметров самой системы от их номинальных невозмущенных значений. Обычно в реальных условиях ставят требование достаточной малости влияния таких отклонений на номинальные свойства системы и ее движение. [c.32] В зависимости от свойств системы ее невозмущенное (номинальное) состояние может оказаться устойчивым или неустойчивым, последнее не может быть практически реализовано. [c.32] Параметры механической системы практически никогда не бывают точно известными, а иногда могут случайным образом меняться с течением времени. Если общие свойства системы мало изменяются при малом изменении параметров и эги изменения носят лишь количественный характер, то такую систему называют структурно устойчивой (по терминологии, введенной А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным, грубой). Если малое изменение какого-либо параметра приводит к качественному изменению характера состояния системы, то ее называют структурно неустойчивой (негрубой). Таким изменениям соответствуют принципиальные изменения (бифуркация) структуры фазового пространства — появление новых положений равновесия (особых точек), предельных циклов и т. д. Значение параметра р = называют бифуркационным, если существуют сколь угодно близкие к нему значения параметра, при которых структура фазового пространства качественно отличается от структуры при р = Ро. [c.33] При изменении параметров грубой механической системы меняются количественные характеристики ее движения (например, размахи колебаний, частоты и т. д.) оценка быстроты изменения этих характеристик составляет задачу определения чувствительности системы к изменению параметров, которую решают с помощью построения и исследования функции чувствительности. В простейшем случае под функцией чувствительности понимают производную по параметру некоторой величины, характеризующей состояние системы. Для негрубых систем функция чувствительности может принимать бесконечные значения. [c.33] Переменные yi называют фазовыми координатами. [c.33] Движение системы, соответствующее измененным начальным условиям г/д) = = fi (W + называют возму1ценным, а величины Xi — начальными возмуи ениями. [c.33] Движение, устойчивое по Ляпунову, в фазовом пространстве можно представить следующим образом изображающая точка О, начав свое движение из точки G , расположенной внутри или на поверхности сферы радиуса I S, все время остается внутри сферы радиуса (/ е, т. е. фазовая траектория, начинающаяся внутри сферической области радиуса (/б, никогда не достигает сферы радиуса (рис. 9). Если движение асимптотически устойчиво, то любая траектория, начинающаяся в сферической области радиуса б, неограниченно стремится к началу координат, ие выходя за границу сферы радиуса /е. Еслн двил ение неустойчиво, то внутри области радиуса )/б всегда найдется такая точка G , что фазовая траектория, начинающаяся в этой точке, за конечное время достнгнег сферы радиуса /е. [c.34] Устойчивости (асимптотической устойчивости) движения по отношению к начальным отклонениям, лежащим в конечной области, соответствует понятие об устойчивости в большом. [c.35] Асимптотической устойчивости движения по отношению к любым начальным отклонениям соответствует понятие об асимптотической устойчивости в целом. [c.35] Областью притяжения асимптотически устойчивого режима называют часть фазового пространства, удовлетворяющую следующему условию любая начавшаяся в этой области фазовая траектория с течением времени приближается к началу координат, соответствующему исследуемому режиму. Областью притяжения асимптотически устойчивого движения в целом является все фазовое пространство. [c.35] Нелинейные консервативные колебательные системы обычно не бывают асимптотически устойчивыми. Любое сколь угодно малое изменение начальных условий приводит к изменению размаха и, следовательно, периода колебаний такой системы (см. с. 28 и гл. III), поэтому изображающая точка, соответствующая возмущенному двия.е-нию, не KO/i er оставаться в ско.ль угодно малой окрестности изображающей точки не-возмущенного движения. Однако фазовые траектории возмущенного и невозмущенного движений остаются близкими одна к другой. [c.35] Для движений такого вида вводится понятие орбитальной устойчивости. [c.35] Функция V (/, х) называется знакопостоянной, если при достаточно большом и достаточно малом Н она может принимать в области (23) кроме нулевых значения только одного знака. Если знакопостоянная функция V не зависит от t и ири достаточно малом Н обращается в нуль только при нулевых значениях фазовых координат в области (23), то такая функция называется знакоопределенной положительно или отрицательно определенной). [c.35] Общих критериев знакоопределенности и знакопеременности не существует. Однако в задачах устойчивости часто встречаются квадратичные формы переменных Х], Хз.Xj, знакоопределенность или знакопеременность которых устанавливают с помощью критерия Сильвестра. [c.36] Необходимое и достаточное условие отрицательной определенности формы V (х) записывают в виде неравенств О, Да О, Д., О.т. е. знаки определителей Д( должны последовательно чередоваться, причем Д1 доляген быть отрицательным. [c.36] Теоремы прямого (второго) метода Ляпунова. В теории устойчивости невозмущенное движение принято называть установившимся, если соответствующие ему дифференциальные уравнения возмущенного движения автономны [10]. В противоположном случае невозмущенное движение называют неустановившимся . В исследовании устойчивости движения автономных и неавтономных систем (установившихся и неустановившихся движений) имеются некоторые различия. [c.37] Автономные системы. Теорема об устойчивости. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения (25) можно найти знакоопределенную функцию V (х), производная которой V, составленная в силу этих уравнений является знакопостоянной функцией противоположного знака с V, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво. [c.37] Теорема об асимптотической устойчивости, Если при выполнении условий теоремы об устойчивости производная V является знакоопределенной, то невозмущенное движение устойчиво асимптотически. [c.37] Первая теорема о неустойчивости. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения (25) возможно найти функцию У х), которая обладала бы в силу этих уравнений знакоопределенной производной V и могла бы принимать в окрестности нуля значения одного знака с V, то невозмущенное движение неустойчиво. [c.37] Вернуться к основной статье