ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Типы нелинейных механических систем, их фазовые диаграммы и особенности нелинейных колебаний из "Вибрации в технике Справочник Том 2 " Механическую систему называют нелинейной, если нелинейны соотношения, описывающие процессы ее движения или статического деформирования, в частности, если хотя бы одна из обобщенных сил нелинейно связана с обобщенными координатами и (или) обобщенными скоростями. Хотя всякая реальная механическая система в той или иной степени нелинейна, в ряде случаев влияние нелинейности пренебрежимо мало тогда для описания таких систем можно пользоваться упрощенными линейными моделями и соответствующими им линейными теориями. Таковы, например, основные статические и динамические модели, используемые в сопротивлении материалов, строительной механике и теории упругости, а также некоторые простейшие модели теорий вязкоупругости, аэроупругости, гидроупругости, магни-тоупругости. О линейных динамических задачах см. в т. 1. [c.11] В простейших случаях нелинейность механической системы связана с нелинейными зависимостями позиционных сил от обобщенных координат (см. ниже) или сил сопротивления (в частности, сил трения) от обобщенных скоростей (см. с. 14). Для систем с одной степенью свободы такие зависимости, взятые с противоположными знаками, называют силовыми характеристиками (например, характеристика позиционной силы, характеристика силы сопротивления и т.д.). [c.11] В более сложных системах в механической системе могут действовать силы смешанного типа (см. с. 17). [c.11] Нелинейные позиционные силы. Позиционными называют силы, зависящие только от положения механической системы (ее обобщенных координат). В самом общем случае позиционные силы можно разделить на консервативные и неконсерватив-ные (см. т. 1). В системах с одной степенью свободы любая сила, зависящая только от обобщенной координаты, является консервативной. Если в системе с одной степенью свободы приращение позиционной силы нанравлено противоположно отклонению системы от положения равновесия, то такую силу называют восстанавливающей-, при этом выполняется неравенство f о (Ф 9 где q — отклонение системы от положения равновесия Fq q) — ордината силовой характеристики (т, е. взятое с обратным знаком приращение обобщенной позиционной силы). Если Fa (q) q О, то соответствующую позиционную силу называют отталкивающей. [c.11] Различают несколько типов позиционных сил. [c.11] Производную dFJdq называют квазиупругим коэффициентом, или, если Fg — сила упругости, коэффициентом жесткости) в нелинейных системах этот коэффициент зависит от обобщенной координаты q. Если с возрастанием координаты он увеличивается при q Q (или уменьшается при 0), то характеристику называют жесткой, при этом q- (d F ldq ) 0. В противоположном случае q- (d F ldq ) О, и характеристику называют мягкой. Характеристики могут быть жесткими в одних промежутках значений q и мягкими — в других. Если q) — —Fq (—q), то характеристику называют симметричной. [c.14] Типы механических систем с одной степенью свободы с нелинейными позиционными силами и их силовые характеристики приведены в табл. 1. Через х, у или р обозначены обобщенные координаты (отклонения системы от положения равновесия), через F или /И — взятые с обратным знаком обобщенные силы. Во всех приведенных случаях нелинейность позиционных сил проявляется лишь при больших отклонениях системы от положения равновесия при малых отклонениях эти системы можно считать линейными (пределы таких отклонений устанавливают дополнительным исследованием, они зависят от характера изучаемого вопроса и требований точности). [c.14] Иногда нелинейность позиционных сил существенна при сколь угодно малых отклонениях системы от положения равновесия часто нелинейные свойства таких систем особенно заметны именно при малых отклонениях (табл. 2). [c.14] К силам сопротивления относятся силы трения в подвижных соединениях машин и механизмов силы конструкционного трения в неподвижных соединениях (прессовых, заклепочных, болтовых и т. п.), связанные с микропроскальзываниями в зонах контакта при нагружении системы силы внутреннего трения в материале элементов системы силы сопротивления среды, возникающие при движении конструкции в газе или жидкости (силы лобового сопротивления, моменты сил сопротивления вращению крыльчаток и др.). [c.15] Чаще всего силы сопротивления описываются нелинейными функциями скоростей, однако в практических расчетах эти функции иногда можно линеаризовать, считая сопротивление линейно-вязким. Обычно основанием для линеаризации сил сопротивления служит не столько слабая нелинейность истинных зависимостей (в действительности она может быть сильной), сколько заведомо малое влияние сил сопротивления на некоторые колебательные свойства и процессы. Так, в большинстве случаев для расчета частот свободных колебаний достаточно использовать линеаризованные характеристики сил трения, а иногда даже полностью пренебречь сопротивлениями. Силами трения часто можно пренебрегать и при вычислении амплитуд вынужденных колебаний вдали от резонанса. [c.15] Силы сопротивления, удовлетворяющие неравенству Fi (q) 7 О, совершают отрицательную работу и вы ывают рассеивание (диссипацию) механической энергии такие силы сопротивления называют диссипативными. Если Fi q) ij О, то силы сопротивления совершают положительную работу и вызывают приток механической энергии в систему такие силы называют силами отрицательного сопротивления (отрицательного трения). Если сила сопротивления совершает отрицательную работу в одних промежутках движения и положительную — в других, то система может обладать автоколебательными свойствами. [c.17] Некоторые нелинейные характеристики сопротивления приведены в табл. 3. [c.17] Другие примеры сил смешанною типа см. в табл. 5. [c.18] В автономных системах с импульсным возбуждением силы смешанного типа представляют собой кратковременные воздействия ударною характера, причем удар обычно допустимо считать мгновенным. В этих системах моменты приложения мгновенных импульсов заранее не заданы, так как они зависят от движения системы (импульсы прикладываются в моменты прохождения системой определенных состояний, характеризуемых заданными значениями обобщенных координат и обобщенных скоростей). [c.18] Типы нелинейных механических систем. Нелинейные механические системы (как и линейные) разделяют на автономные и неазтономные по признаку отсутствия или наличия воздействий, заданных в виде функций времени (силовою или кинематического возбуждения). [c.20] В автономных системах действующие силы зависят только от состояния системы (обобщенных координат и обобщенных скоростей), и в дифференциальные уравнения движения время явно не входит. В дифференциальные уравнения движения неавтономных систем время входит явно. Если для автономной нелинейной системы с несколькими степенями свободы можно заранее указать с достаточной точностью законы изменения во времена некоторых из обобщенных координат, то число дифференциальных уравнений движения соответственно уменьшается в этих уравнениях явно появляется время, и систему в целом можно рассматривать как неавтономную. На этом основана постановка задачи о вынужденных колебаниях, когда предполагают, что движение колебательной системы не оказывает обратного влияния на возбудитель колебаний, т. е. действие возбудителя представляет собой некоторую заданную функцию времени ( идеальный возбудитель ). При учете обратного влияния система обычно оказывается нелинейной и автономной, а число обобщенных координат большим, чем в приближенном анализе, необходимость такого учета зависит от свойств и параметров системы (см. гл. VII). [c.21] Понятие автономности не совпадает с понятием замкнутости (изолированности) механической системы, которое соответствует условиям полного отсутствия внешних воздействии. Автономная система момет быть незамкнутой (таковы, в частности, все автоколебательные системы), а замкнутая система — неавтономной (при действии парных внутренних сил, заданных в виде явных функций времени). Схемы таких сне тем приведены в 1абл. 6. [c.21] Соотношение (3) часто используют при анализе некоторых автоколебательных систем и свободных затухающих колебаний систем с нелинейными силами сопротивления. [c.21] Автономные системы могут быть консервативными и неконсервативными, в числе последних выделяются диссипативные и автоколебательные. [c.21] Диссипативная система нелинейна, если хотя бы одна из функций F и fj нелинейно связана со своим аргументом. Примеры описания диссипативных сил приведены в табл. 3. Общие свойства колебательных явлений в соответствующих системах рассмотрены в гл. IV. Характерной практической задачей для таких систем является аналитическое построение огибающей кривой свободных затухающих колебаний. [c.22] Вернуться к основной статье