ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Случайные колебания упругопластнческих тел из "Вибрации в технике Справочник Том 6 " Допустим, что девиатор деформации е — стационарная случайная функция времени. Положим для простоты, что математическое ожидание равно нулю. Пусть требуется выяснить поведение материала при таком законе деформирования. Прямое использование уравнений (5) — (Ю) для этой цели наталкивается на значительные трудности в силу нелинейности этих уравнений. Поэтому целесообразно применить приближенные методы. Одним из наиболее простых и эффективных методов анализа нелинейных систем является метод статистической линеаризации [192]. Ниже этот метод используется в задаче анализа поведения упругопластического материала при случайном законе деформирования. [c.152] Решение поставленной задачи определяется фор,мулами (23), (24). Возможна их простая интерпретация в терминах теории линейной вязкоупругости мнимая часть комплексного модуля сдвига характеризует демпфирующую способность материала, тогда как интегральная добавка к вещественной части определяет так называемый дефект модуля. [c.154] Формула (28) показывает, что комплексный модуль сдвига зависит от частоты н от среднего квадрата интенсивности касательных деформаций. [c.155] Эти формулы представляют обобщение на случай негармонических колебаний известной в теории внутреннего трения закономерности о степенной зависимости демпфирующих свойств материала от амплитуды деформации [149, 207]. Однако в рассматриваемом случае сохраняется частотная зависимость различные гармонические составляющие имеют различное демпфирование. [c.155] Причем 6/ характеризуют соотношения между интенсивностями гармонических составляющих, так что (Ь/Г равно среднему квадрату интенсивности касательных деформаций составляющей частоты и /. [c.156] Он не зависит от частоты, а зависит только от амплитудного значения интенсивности касательных деформаций Г. Как известно, независимость от частоты и зависимость от амплитуды деформации является характерным свойством внутреннего трения в металлах при больших напряжениях [149, 207[. [c.156] Здесь В — бета-функция Эйлера. Тогда (30) предписывает степенную зависимость комплексного модуля сдвига от амплитуды деформации. [c.156] Степенная зависимость эффекта внутреннего трения от амплитуды деформации для одномерного напряженного состояния широко используется в литературе по теории Внутреннего трения. Формула (30) обобщает эту зависимость для случая сложного напряженного состояния. [c.156] Ввиду сложности (34) дальнейший анализ с помощью (28) возможен только с использованием численного интегрирования даже при простейших распределениях (29). Однако структура выражений (34) и(28) позволяет сделать важный вывод значения комплексного модуля сдвига для гармонических составляющих с частотами Ш] и СО2 зависят не от индивидуальных частот, а только от их отношения к. [c.156] Это в точности совпадает с выражением комплексного модуля сдвига (3 ) для моногармонического деформирования интенсивностью Ь Г, равной интенсивности высокочастотной составляющей деформации в бигармоническом процессе. Таким образом, наличие очень низкочастотной составляющей в законе деформирования не влияет на демпфирующие свойства материала по высокочастотной составляющей. Мнимая часть Ок1 отлична от нуля. Следовательно, наличие высокочастотной составляющей не подавляет способность материала демпфировать колебания на очень низкой частоте. [c.157] Результаты вычислений по этим формулам представлены на рис. 2, й и б сплош ными линиями, а штриховыми линиями — значения для гармонического деформирования с интенсивностью Г. Зависимости I (Й) определяют демпфирующую способность материала. В той части спектра, где заключена основная энергия случайного процесса, демпфирующие свойства материала не слищком сильно зависят от частоты и близки к их значениям для гармонического деформирования той же интенсивности, хотя и несколько меньще последних по величине. [c.158] Здесь интегрирование распространено по всему объему рассматриваемого тела) р — плотность материала и — вектор перемещения К — интенсивность массовом силы X — тензор напряжений би — вектор возможных перемещений, бе — соответствующая ему деформация. В специальном учете поверхностной нагрузки в (36) нет необходимости, так как она может быть включена в массовую путем введения обобщенных функций. [c.158] Разумеется, коэффициенты комплексны и зависят от частоты, так что запись в форме уравнений (40) в той же мере условна, что и в (25). [c.159] Первое выражение является спектральным представлением обобщенной координаты. С его помощью по стандартной методике спектральной теории находятся вероятностные характеристики интересующих величин [192]. Детали вычислений зависят от спектральных свойств нагрузки. Следует, однако, иметь в виду, что на этом вычисления не заканчиваются, поскольку в выражение Оц, а значит, и Оц также входят некоторые вероятностные характеристики движения Для их определения должны быть составлены надлежащие уравнения. Ниже этот вопрос рассматривается на примерах. [c.159] В этих равенствах а и Л представляют соответственно амплитуды гармонических составляющих частоты в выражении обобщенной координаты и обобщенной силы Ql. [c.160] Уравнения (46) вместе с (45) образуют в этом случае сис гему для определения Г, бг, Ф (т)). [c.160] Рассмотрим случай одночастотной внешней нагрузки, имеющей частоту со, близкую к 1-й собственной частоте. В этом случае в спектральном представлении (37) достаточно учесть лишь одно 1-е слагаемое, поскольку здесь условия близки к резонансу. [c.160] Значение Оц должно быть взято на частоте со. Уравнения (40), (48), (49) образуют замкнутую систему для Г, Оц, ф. [c.160] Приведенные формулы применимы к анализу колебаний как однородных, так и неоднородных тел, причем в последнем случае модуль сдвига О, коэффициент Пуассона V и вид функции р (Л) зависят от координат точек тела. [c.161] Вернуться к основной статье