ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод стохастических функций Ляпунова из "Вибрации в технике Справочник Том 1 " Общая характеристика метода. Классический метод функций Ляпунова используют для получения строгих достаточных (иногда необходимых и достаточных) условий устойчивости и неустойчивости. В основе метода лежит идея построения таких функций, по знаку производных которых вдоль фазовых траекторий можно судить об устойчивости невозмущенного движения. Если система является стохастической, то необходимо исследовать поведение всего множества реализаций, смежных с невозмущенным движением [56, 142]. [c.301] Выражение Lv имеет смысл производной по времени от математического ожидания функции V (х, t) при условии, что в момент времени t процесс имеет значение х. Таким образом, величина Lv характеризует скорость изменения функции v (х, t) на множестве всех траекторий системы, проходящих в момент времени t через точку фазового пространства х. [c.302] Задача состоит в построении таких функций v (х, i), чтобы по знаку Lv в некоторой области фазового пространства можно было судить о стохастической устойчивости. Для этого используют функции, аналогичные классическим функциям Ляпунова. [c.302] Функцию V (х, I), заданную в некоторой окрестности полупрямой х = О, t to, называют положительно определенной (по Ляпунову), если в этой окрестности выполняются условия V (х, t) = W (х) = О при X = О, V (х, t) W (х) О при X 0. Функцией, имеющей бесконечно малый верхний предел (равномерно малой по х), называют функцию v (х, I), если для любого О существует такое б (Л) О, что при любом / 4 имеет место х (i) б v (х, I) II к. [c.302] Ниже сформулированы три теоремы об устойчивости решения х t) = О стохастической системы дифференциальных уравнений, описывающих непрерывный марковский процесс х (t) с производящим оператором L [56, 112 . [c.302] Теоремы об устойчивости по вероятности. Пусть в окрестности х = О, t t(, существует непрерывная положительно определенная функция v (х, t), принадлежащая области определения оператора L и удовлетворяющая при х О условию Lv 0. Тогда решение х (t) =0 устойчиво по вероятности. [c.302] Пусть в окрестности х = О, t существует непрерывная имеющая бесконечно малый предел положительно определенная функция, принадлежащая области определения оператора L и удовлетворяющая при х О условию Lv 0. Тогда решение х (t) = О асимптотически устойчиво по вероятности. [c.302] Тогда решение х (О = О будет асимптотически устойчивым в среднем квадратическом. [c.302] Вернуться к основной статье