ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Неустановившиеся вынужденные колебания в системах с конечным числом степеней свободы из "Вибрации в технике Справочник Том 1 " Здесь F (/) — матрица-столбец обобщенных внешних сил. [c.115] Здесь q (p) и (р) — матрицы-столбцы изображений, соответствующие матрицам q t) и р(/) векторы qo н q определяют начальные условия. Решая полученную систему, например по правилу Крамера, находим вектор изображений р). Применение обратного преобразования Лапласа дает искомое решение. [c.115] Переход к искомому решению осуществляется преобразованием (41). [c.116] Предварительные замечания. Понятие о параметрически возбуждаемых колебаниях было введено в гл. 1. В отличие от вынужденных колебаний параметрически возбуждаемые (параметрические) колебания поддерживаются за счет изменения параметров системы. Наиболее часто встречаются колебания с периодическим параметрическим возбуждением, которые описываются дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. В этой главе рассматриваются колебания, возбуждаемые периодическими параметрическими воздействиями. [c.116] Примеры параметрически возбуждаемых колебаний в машиностроении. Параметрические колебания часто встречаются в задачах динамики механизмов и машин. Вал, сечение которого имеет неодинаковые главные жесткости при изгибе, может испытывать незатухающие поперечные колебания даже в том случае, когда он полностью уравновешен. Причиной поперечных колебаний является периодическое (при постоянной угловой скорости) изменение изгибных жесткостей относительно неподвижных осей. В неподвижной системе координат поперечные колебания вала описываются дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Если использовать координатную систему, которая вращается вместе с валом, то придем к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Поэтому в данном примере изгибные колебания можно трактовать и как параметрически возбуждаемые колебания, и как автоколебания. Для вала, который может совершать поперечные колебания только в одной плоскости, причиной поперечных колебаний является периодическое изменение изгибной жесткости вала в этой плоскости. Примером системы с периодически изменяющейся приведенной массой служит шатунно-кривошипный механизм. Параметрическое возбуждение колебаний возможно во многих системах, где движение передается через упруго деформируемые звенья, например, в спарниковой передаче в локомотивах. [c.116] Соответствующую этому периоду частоту (о = 2я/Т называют частотой параметрического возбуждения или частотой возбуждения. [c.117] Понятие о параметрических резонансах. Уравнение (1) имеет тривиальное ре-тиение q s О, которое отвечает невозмущенному равновесию или невозмущенному периодическому движению системы. Пусть коэффициенты уравнений зависят от некоторых параметров, характеризующих свойства параметрического воздействия и (или) системы. При некоторых значениях параметров решение q = О может оказаться неустойчивым. Это означает, что имеет место параметрическое возбуждение колебаний механической системы. Множества точек, соответствующих неустойчивости, как правило, образуют области в пространстве параметров, которые называют областями неустойчивости областями динамической неустойчивости) механической системы. Если параметрическое воздействие — периодическое и если среди варьируемых параметров содержатся частоты параметрического воздействия, то особый интерес представляет нахождение частотных соотношений, при которых наблюдается наиболее интенсивное параметрическое возбуждение. Эти частотные соотношения, как и возбуждаемые при этих соотношениях колебания, называют параметрическими резонансами. [c.117] В частности, мультипликатору р = 1 отвечает периодическое решение с периодом Т, мультипликатору р = — 1 — решение с периодом 2Т. Далее эти решения называют соответственно Т- и 2Т-периодическими. [c.118] Решение q = О уравнения (1) асимптотически устойчиво, если все мультипликаторы лежат внутри единичного круга р 1. Решение q = 0 уравнения (1) неустойчиво, если среди мультипликаторов имеется хотя бы один, по модулю боль-U и единицы, или найдутся кратные р = 1 с непростыми элементарными делителями. [c.119] Случаи расположения мультипликаторов на комплексной плоскости представлены на рис. 1. Этим случаям соответствует рис. 1 гл. V для систем с постоянными параметрами, если характеристические показатели определять согласно (15). [c.119] Характер решений на границах областей неустойчивости. Для канонической системы [116] все мультипликаторы в области устойчивости находятся на единичной окружности. При переходе в область неустойчивости, соответствующую простому резонансу, мультипликаторы становятся кратными, принимая значения либо р = 1, либо р = — 1 (рис. 2, а и б). В первом случае одно нз решений на границе будет f-периодическим, во втором оно будет гТ-периодическим. При комбинационных резонансах мультипликаторы покидают единичную окружность через точки, отличные QX р — (рис. 2, в). Этим значениям мультипликаторов отвечает почти периодиче-ское решение уравнения (1). Такой же характер поведения будет в системах более общего типа, мультипликаторы которых удовле воряют соотношению (12). [c.121] На рис. 4 изображены первые три области неустойчивости на плоскости (i,, т] = = (u/2 oo. Клииья областей примыкают к частотам (24). Относительная ширина области главного параметрического резонанса имеет порядок .i. [c.123] Относительная ширина второго, третьего и т. д. побочных резонансов имеет поря- Формулы для расчета границ первых пяти областей неустойчивости даны в табл. 1. [c.123] Кусочно-постоянное параметрическое возбуждение. Области неустойчивости уравнения Мейссиера. Если функция Ф (t) — кусочно-постоянная, то фундаментальная система решений и, следовательно, матрица перехода могут быть построены в замкнутом виде в элементарных функциях. [c.123] Области неустойчивости для уравнения Мейсснера показаны на рис. 5. В отличие от рис. 4 по оси ординат отложено обратное частотное отношение 2щ1(и. Характерным для этой системы является перекручивание областей неустойчивости. [c.124] По предположению диссипация в системе и глубина модуляции параметров имеют одинаковый порядок малости. В реальных задачах эти факторы, как правило, изменяются независимо. Можно также построить схему вычислений, где используется разложение по степеням двух независимых малых параметров. [c.127] Последовательно решая уравнения метода малого параметра, найдем приближенные значения характеристических показателей (15) также в виде рядов по степеням (i,. В области асимптотической устойчивости действительные части всех характеристических показателей должны быть отрицательны. Отрезки границ областей неустойчивости, примыкающие к частоте найдем, приравняв нулю действительные части соответствующих характеристических показателей. [c.127] Вернуться к основной статье