ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вынужденные колебания (Ю. Н. Новичков, Г. В. Мишенков, Чирков) из "Вибрации в технике Справочник Том 1 " Определение устойчивости по Ляпунову. Равновесие х = О называют устой-по Ляпунову, если для любого е О можно найти такое б О, что из условия ilx Q II любом t to следует неравенство II х (/) е. В противном случае равновесие х = О называют неустойчивым. [c.95] Практически устойчивость по Ляпунову означает, что при достаточно малых начальных возмущениях фазовые траектории системы будут достаточно мало отклоняться от положения равновесия. Неустойчивость равновесия означает, что система может удалиться от положения равновесия даже в том случае, если начальные возмущения сколь угодно малы. [c.95] Графическая иллюстрация определения устойчивости по Ляпунову на примере двухмерного фазового пространства дана на рис. 3. [c.95] Равновесие системы устойчиво по Ляпунову, если действительные части всех характеристических показателей неположительны, причем чисто мнимые характеристические показатели с нулевой действительной частью — либо простые, либо имеют простые элементарные делители. [c.95] Равновесие системы асимптотически устойчиво, если все характеристические показатели имеют отрицательные действительные части. [c.95] Равновесие системы неустойчиво, если среди характеристических показателей имеется хотя бы один с положительной действительной частью. [c.95] Четыре наиболее типичных случая расположения характернстическнх корней на комплексной плоскости представлены на рис. 1. Равновесие диссипативной системы (12) с одной степенью свободы будет асимптотически устойчиво при е О, устойчиво по Ляпунову при е = О и неустойчиво при е 0. [c.95] Пусть уравнения нелинейной системы отличаются от линеаризованных уравнений нелинейными членами, которые являются непрерывными и дифференцируемыми функциями фазовых переменных и времени. Если положение равновесия линейной системы асимптотически устойчиво, то равновесие нелинейной системы будет устойчиво по Ляпунову независимо от нелинейных членов. [c.96] Если при тех же условиях среди характеристических показателей линейной системы найдется хотя бы один, имеющий положительную действительную часть, то равновесие нелинейной системы будет неустойчиво независимо от нелинейных членов. [c.96] Теорема Лагранжа об устойчивости консервативных систем. Пусть система с голо-номными стационарными связями находится в равновесии под действием одних консервативных сил. Если потенциальная энергия системы имеет в положении равновесия изолированный минимум, то это положение равновесия устойчиво но Ляпунову. [c.96] Эту теорему использовали ранее при рассмотрении малых свободных колебаний консервативных систем. [c.96] Влияние диссипативных и гироскопических сил иа устойчивость равновесия (движения) линейных систем. Приведенные ниже теоремы, связанные с именами Кельвина и Тета, относятся к изменению характера устойчивости систем, находящихся под действием консервативных позиционных сил, при добавлении диссипативных и (или) гироскопических сил [114]. [c.96] Равновесие, устойчивое при одних консервативных силах, становится асимптотически устойчивым при добавлении диссипативных сил с полной диссипацией, а также диссипативных сил с полной диссипацией и гироскопических сил. [c.96] Равновесие, устойчивое при одних консервативных силах, остается устойчивым при добавлении диссипативных сил (не обязательно обладающих полной диссипацией) и (или) гироскопических сил. [c.96] Равновесие, неустойчивое при одних консервативных силах, может быть стабилизировано путем добавления гироскопических сил только в том случае, если степень неустойчивости (число отрицательных коэффициентов у квадратичной формы потенциальной энергии) четная. [c.96] Равновесие, неустойчивое при одних консервативных силах, не может быть стабилизировано добавлением гироскопических сил и диссипативных сил, если последние обладают полной диссипацией. [c.96] Для того чтобы доказать асимптотическую устойчивость линейной автономной системы, достаточно убедиться, что все корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части. Ниже сформулированы необходимые и достаточные условия, при которых корни характеристического уравнения (24) лежат в открытой левой полуплоскости. [c.96] Коэффициенты этого полинома можно получить одним из методов, описанных в гл. V. Необходимым условием того, чтобы действительные части корней полинома (25) были отрицательными, является положительность всех его коэффициентов , 0 О (k = 0. 1, 2,. .., п). Поэтому можно считать, что ро 0. [c.96] Вернуться к основной статье