ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решение полной задачи о собственных значениях из "Вибрации в технике Справочник Том 1 " В этом случае столбцы матрицы U будут собственными векторами, а — собственными значениями матрицы G. [c.80] Метод имеет квадратичную сходимость. Если внедиагональные элементы матрицы G уже имеют порядок не выше е, то их порядок станет не выше после выполнения одного цикла, состоящего из п п — 1)/2 вращений. [c.81] Метод вращений имеет несколько вычислительно-ориентированных модификаций, сокращающих непроизводительные затраты машинного времени на поиск наибольшего по модулю внедиагонального элемента (циклический метод вращений, метод вращений с барьерами [22]) или уменьшающих влияние ошибок округления [106]. Метод гарантирует точность, сравнительную с точностью вычислительной машины, на которой реализован алгоритм. Для этого требуется от 6 до 10 циклов или от Зга до вращений. Метод прост и компактен. Этот метод неэффективен при использовании двухступенчатой памяти. По затратам машинного времени он уступает методам, основанным на предварительном приведении к трехдиагональной форме, поскольку не использует преимуществ симметричных ленточных матриц. [c.81] Применение стандартных подпрограмм. Оператор обращения к подпрограмме метода вращений имеет вид ALL EIGEN (G, U, N, MV). Здесь G — симметричная матрица порядка N U —матрица вычисленных собственных векторов порядка N MV — входной признак (если MV = О, то вычисляются собственные значения и собственные векторы, если MV = 1 — только собственные значения массив U в этом случае не используется, но его имя должно быть обязательно в обращении). Собственные значения располагаются на главной диагонали массива G в порядке убывания. [c.81] Эти равенства означают, что с точностью до перестановки строк и столбцов все матрицы G при достаточно больщих значениях т будут близки к квазидиагональной матрице. Блоки размера 1 X 1 содержат действительные собственные значения. [c.82] Может оказаться, что один из блоков имеет вид Е - - S, где S — кососимметричная матрица. Тогда действительные части собственных значений этого блока равны g, а мнимые части равны собственным значениям матрицы S. [c.82] Если матрица G имеет лишь вещественные собственные значения, то предельная матрица будет диагональной. [c.82] В метода Хаусхолдера приведение к трехдиагональной форме осуществляется при помощи матриц отражения Р = Е — 2ww , w fw = 1. Процесс приведения требует приблизительно 2)г /3 умножений и около п извлечений квадратных корней. [c.83] Свойство последовательности полиномов Ро (X), р (X),. .., р (X) позволяет вычислять собственные частоты из заданного диапазона или найти несколько собственных частот, ближайших к некоторому числу, или построить гистограмму распределения собственных частот без вычисления самих частот. [c.83] Для вычисления отдельных собственных векторов трехдиагональной матрицы эффективен метод обратной итерации [106]. Если требуется вычислить все собственные векторы, то наиболее эффективным окажется применение методов LR- и QR-алто-ритмов к трехдиагональной матрице. [c.83] Задачи о собственных колебаниях в форме (2) или (3) необходимо предварительно привести к задачам с симметричной матрицей по методу квадратного корня. В противном случае несимметричные матрицы Н и G преобразуют к верхней или нижней почти треугольной форме (форме Хессенберга). Этот процесс может быть осуществлен теми же устойчивыми преобразованиями и требует того же числа действий, что и для симметричных матриц. [c.83] Вернуться к основной статье