ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Кинематические характеристики периодических колебательных процессов из "Вибрации в технике Справочник Том 1 " Дадим кинематическое описание колебательных процессов для случая, когда процесс характс ризуегся одной скалярной переменной u(t). Пусть эта переменная — перемещение тогда ее первая производная по времени — скорость и вторая производная — ускорение. [c.18] Для наглядного представления гармонических колебаний можно использовать круговую диаграмму (рис. 3). Для этого на плоскости вводится вектор длиной А, который вращается с постоянной угловой скоростью, равной со (отсюда происходит термин угловая скорость). Начальное положение вектора задается углом ф. Проектируя конец вектора на вертикальную ось, получим закон движения в форме (4). [c.19] Таким образом скорость v t) и ускорение w t) при гармонических колебаниях также изменяются во времени по синусоидальному закону с той же частотой, что и перемещение u t). Амплитуды скорости и ускорения равны соответственно соЛ и мМ. [c.19] Это тождество соответствует интерпретации гармонических колебаний при помощи круговой диаграммы (см. рис. 3). [c.20] Этому разложению соответствует представление периодических колебаний в виде суммы гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте м = 2л/Т. Для представления функции u(i) в форме (16) она должна удовлетворять условиям Дирихле, т. е. быть ограниченной и иметь конечное число максимумов, минимумов и точек разрыва первого рода на любом конечном интервале. [c.21] Коэс х[)ицие[1ты о , Д,, Й2,. .., 7, 2,. . . называются коэффициентами Фурье. Коэффициент у а характеризует среднее значение колеблющейся величины коэффициенты Я] и — компоненту движения с основной частотой со. Эта компонента называется первой или основной гармоникой колебательного движения. Компоненты движения с частотой к л, где к У , называются высшими гармониками, а число А — номером гармоники. Ряд Фурье для колебательного процесса может быть как бесконечным, так и конечным. Так, колебательный процесс (15) содержит лишь две гармоники, тю и п л. [c.21] Совокупность амплитуд, характеризующих гармонические колебания и расположенных в порядке возрастания частот, называется амп.штудным спектром периодического процесса. Совокупность начальных фаз, характеризующих гармонические колебания и расположенных в порядке возрастания частот, называется фазовым спектром. Понятие амплитудного спектра проиллюстрировано на рис. 5. [c.21] Примеры типичных колебательных процессов, содержащих две гармоники, приведены в табл. 1. Существенно, что вид колебательного процесса зависит не только от соотношения между частотами и амплитудами гармоник, но и от фазовых соотношений. [c.21] Если функция задана аналитически, то спектральный анализ в принципе может быть произведен по формулам (18). Коэффициенты Фурье для некоторых часто встречающихся в теории колебаний периодических функций даны в табл. 2. [c.22] Если информация о колебательном процессе задана в графической или табличной форме, представлена в виде магнитозаписи и т. п., то для спектрального анализа применяются графические, численные или аппаратурные методы. [c.22] Алгоритм вычислений содержит следующие операции вычисление величин 0= = 2я Л при различных значениях и а вычисление os 0 а и sin б вычисление выражений Ug Oib и U jSmQ суммирование этих выражений. Этот алгоритм требует примерно операций сложения и умножения. Объем вычислений можно уменьшить, используя идею быстрого преобразования Фурье [4]. [c.25] При вычислении правых частей в этих формулах многократно используются различные комбинации произведений чисел j, и на экспоненциальные функции. Если N — составное число, т. е. может быгь представлено в виде произведения целых чисел М = г -г2 Гр, то многократного повторения операций можно избежать. Количество операций сложения и умножения имеет при этом порядок N (ri + Гз + +. .. Гр)- Обычно берется N = 2Р, что приводит к уменьшению объема вычислений примерно в N/2p раз. Один из вариантов быстрого преобразования Фурье известен под названием метода Кули и Тьюки [6]. [c.25] Фигуры Лиссажу для полигармонических процессов. При геометрическом сложении двух процессов Ui(i) = Ai sin (poU + ф)1 2 sin получаются плоские кривые, называемые фигурами Лиссажу. Для получения уравнения кривых, описывающих траекторию движения точки на плоскости (и , Uj), необходимо рассматривать выражения для и 1) и u t) как уравнение кривой, заданной в параметрической форме. В общем случае вид траекторий, описываемых точкой, зависит от соотношений между частотами, амплитудами и фазами слагаемых процессов. [c.26] Пример. На рнс. 7 показаны траектории, описываемые точкой при различных р, q к f. Принято, что АI — А2 = I, так как изменение соотношений между амплитудами процессов Ui ( ) и Uj (О влияет на пропорции фигур Лиссажу, не изменяя общего характера форм кривых. [c.26] Траектории движения точки могут быть незамкнутыми кривыми это наблюдается в случае, когда частоты суммируемых процессов несоизмеримы, т. е. число piq не является рациональным. По фигурам Лиссажу достаточно просто находят отношения частот и сдвиг фаз суммируемых процессов [75]. [c.26] Вернуться к основной статье