ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Реконструкция евклидова пространства из "Начертательная геометрия " Прежде чем говорить о сущности метода проевд1рования, целесообразно рассмотреть некоторые свойства евклидова пространства. [c.13] Известно, что эти свойства могут быть выражены при помощи системы аксиом и предложений, которые устанавливают зависимости и отношения между элементами пространства. Точки, прямые и плоскости евклидова пространства находятся в определенном взаимоотношении, которое может быть обозначено словом принадлежность или инцидентность. Термин инцидентность заменяет такие понятия, как лежать на , проходить через . Вместо выражений точка А лежит на плоскости а , прямая а проходит через точку В можно употреблять выражения точка А инцидентна (принадлежит) плоскости а , точка В инцидентна (принадлежит) прямой а . В символической форме эти выражения можно записать А е а В а. [c.13] Наиболее существенный вклад имели труды по геометрии трехмерного пространства великого геометра древности Евклида, изложенные им в Началах (III в. до нашей эры). По имени автора Начал геометрическому пространству, изучаемому в элементарной геометрии, присвоено название евклидова пространства. [c.13] Принятие аксиомы Евклида о параллельности при последующем изложении приводит к определенным трудностям, вызванным тем, что, рассматривая метод проекций, составляющий основу для изображения на плоскости геометрических фигур, расположенных в пространстве, мы обнаруживаем неоднородность евклидова пространства и погруженных в него геометрических фигур. [c.14] Действительно, пусть даны две прямые а и 6, определяющие плоскость а (рис. 1). Возьмем в плоскости а произвольную точку S (S Ц а Л Ь). Через точку S проведем произвольную прямую /, которая пересечет прямую а в точке а прямую Ь в точке Л. Проведем через точку S прямую li, пересекающую прямую а в точке В , а прямую Ь в точке В . Аналогично, прямые /з, проведенные через точку S, пересекают прямые а и Ь соответственно в точках С и С , и D . [c.14] Свойства евклидовой плоскости обнаруживают еще одно несоответствие, которое влечет за собой нарушение принципа взаимной непрерывности. [c.15] Действительно, если расстояние Ad между точками и В прямой а - величина бесконечно малая (см. рис. 1), то и расстояние Aid между соответствующими этим точкам точками и прямой Ь будет также бесконечно малым. [c.15] Приведенные рассуждения будут справедливы и для другой пары соответственных точек (например, °D и D ). [c.15] Но если мы возьмем на прямой а две бесконечно близкие точки К° и L , разделенные точкой М°, то, как видно из чертежа, им будут соответствовать две бесконечно удаленные точки и L° прямой Ь. [c.15] Если мы обратимся к трехмерному евклидову пространству, то в нем появится множество точек, принадлежащих прямым т и п, по которым пересекаются плоскости а и /3 с плоскостями 6 и 7, определяемыми пучками прямых, параллельных плоскостям а и /3 и принадлежащих точке S (рис. 2). [c.15] Становится очевидным, что евклидово пространство, свойства которого определяются, в частности, и аксиомой о параллельности, не может быть использовано для разработки метода центрального проецирования. Более того, мы оказываемся перед альтернативой или принять на перу существование аксиомы о параллельности и, как следствие, признать неодно Зодность окружающего нас пространства, или считать, что пространство однородно, подвергнув сомнению существование аксиомы о параллельности. [c.15] Для того чтобы освободиться от указанных недостатков, необходимо трехмерное евклидово пространство подвергнуть реконструкции. [c.16] Из рис. 1 видно, что для того чтобы точка М не отличалась от остальных точек (А , С , D ) прямой а, достаточно потребовать, чтобы параллельные прямые /, и Ь пересекались при этом точку их пересечения М будем считать бесконечно удаленной несобственной точкой (в отличие от точек евклидова пространства, которые считаются собственными). [c.16] Таким образом, дополнение прямой несобственной точкой, в которой прямая пересекается с параллельной прямой, позволяет устранить недостаток, являющийся следствием аксиомы о параллельности. [c.16] Теперь мы можем утверждать, что любая точка прямой а будет иметь соответствующую ей точку на прямой Ъ. Эта точка может быть как собственной, так и несобственной. [c.16] В то же время расстояние между точками К М и L°M прямой а бесконечно мало. Для того чтобы избежать разрыва прямой Ь, достаточно предположить, что расстояние между точками К М° и так же бесконечно мало, как и между двумя другими бесконечно близкими точками K L . Это может произойти лишь в том случае, если прямая Ъ будет замкнутой. Условная модель такой прямой показана на рис. 3. [c.16] Так как каждая прямая плоскости имеет только одну несобственную точку, то она может пересекать множество этих несобственных точек только в одной точке, поэтому естественно считать множество несобственных точек плоскости несобственной прямой. Выясним также, что представляет собой множество несобственных точек пространства. [c.16] Вернуться к основной статье