ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Распространение формулы для вычисления нормальных напряжений на случай несимметричного сечения балки из "Сопротивление материалов " Центральных осей можно провести сколько угодно. Возникает вопрос, нельзя ли выразить момент инерции относительно любой центральной осп в зависимости от момента инерции относительно одной или двух определенных осей. Для этого посмотрим, как будут меняться моменты инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте их на угол а. [c.235] Возьмем какую-либо фигуру и проведем через ее центр тяжести О две взаимно перпндикулярные оси Оу и Oz (рис. 167). Пусть нам известны осевые моменты инерции относительно этих осей Jy, J , а также центробежный момент инерции Jy . Начертим вторую систему координатных осей i/i и 2i, наклоненных к первым под углом а положительное направление этого угла будем считать при повороте осей вокруг точки О против часовой стрелки. Начало координат О сохраняем. Выразим моменты относительно второй системы координатных осей J ff и через известные моменты инерции Jy и J . [c.235] Таким образом, для того чтобы вычислить момент инерции относительно любой центральной оси г/i, надо знать моменты инерции J,j и относительно системы каких-нибудь двух взаимно перпендикулярных центральных осей Оу и Oz, центробежный момент инерции Jy относительно тех же осей и угол наклона оси ух к оси у. [c.237] Для вычисления же величин Jy, Jz, Jyz приходится так выбирать оси у и Z н разбивать площадь фигуры на такие составные части, чтобы иметь возможность произвести это вычисление, пользуясь только формулами перехода от центральных осей каждой из составных частей к осям, им параллельным. Как это сделать на практике, будет показано ниже на примере. Заметим, что при этом вычислении сложные фигуры надо разбивать на такие элементарные части, для которых по возможности известны величины центральных моментов инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей. [c.237] Формулы (12.7) и (12.13) решают поставленную в 66 задачу зная для данной фигуры центральные моменты инерции Jy, и J y, мы можем вычислить момент инерции и относительно любой другой оси. [c.238] Этому уравнению удовлетворяют два значения 2ао, отличающиеся на 180 , или два значения to, отличающиеся на 90°. Таким образом, уравнение (12.17) дает нам положение двух осей, составляющих между собой прямой угол. Это и будут главные центральные оси уа и Zo, для которых Jy 2 =0. [c.239] К этой же формуле можно прийти, делая подобное же преобразование второй формулы (12.18). [c.240] По своему виду эти формулы совершенно аналогичны формулам для нормальных и касательных напряжений (6.5) и (6.6) по двум взаимно перпендикулярным площадкам в элементе, подвергающемся растяжению в двух направлениях ( 30). Поэтому мы и здесь можем применить построение круга Мора следует лишь по горизонтальной оси откладывать экваториальные моменты инерции, по вертикальной — центробежные. Построение круга и анализ его рекомендуется сделать самостоятельно. Укажем лишь формулу, позволяющую из двух значений угла о (формула (12.17)) выделить то, которое соответствует отклонению первой главной оси (дающей max J) от начального положения оси у. [c.240] Эта формула полностью аналогична формуле (6.11). [c.240] Теперь можно окончательно сформулировать, что надо сделать, чтобы получить возможность простейшим образом вычислять момент инерции фигуры относительно любой оси. Необходимо через центр тяжести фигуры провести оси Оу и Oz так, чтобы, разбивая фигуру на простейшие части, мы могли легко вычислить моменты/у, У и J y. После этого следует найти по формуле (12.17) величину угла ао и вычислить главные центральные моменты инерции Jy и Л. по формулам (12.18). [c.240] Стало быть, в данном случае оси Оу и Oz являются главными центральными осями инерции сечения. Таким образом, ось симметрии — всегда гугаеная центральная ось вторая главная центральная ось проходит через центр тяжести перпендикулярно к оси симметрии. [c.241] Как мы уже знаем, центральные моменты инерции являются наименьшими из всех моментов относительно ряда параллельных осей. [c.241] Следовательно, главные центральные оси инерции — это такие взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент инерции обра-и ается в нуль, а осевые люменты инерции имеют наибольшее и наименьшее значения. [c.242] В дальнейшем будем обозначать главные оси инерции у и 2 и главные моменты инерции сечения Jy и J . Осью х по-прежнему будет обозначаться ось балки по ее длине. [c.242] Пользуясь равенством нулю центробежного момента инерции относительно главных осей, можно показать, что формулы 63 применимы при известных условиях и к несимметричным сечениям. [c.242] Значит, вместо условия совпадения плоскости внешних сил с плоскостью симметрии сечений балки можно ввести другое чтобы плоскость действия внешних сил совпадала с одной из двух плоскостей, содержащих главные оси инерции поперечных сечений. Эти две плоскости в балке называются главными плоскостями инерции. [c.243] Как пример, можно указать балку зетового сечения (рис. 170) с главными осями z и у. Приведенные выше формулы применимы к ней, если внешние силы будут лежать в плоскости 2 или г/ нейтральной осью в первом случае будет у, во втором z. Так как нейтральные оси сечений и в этом случае перпендикулярны плоскости действия внешних сил, то ось балки при деформации будет оставаться в этой плоскости. Таким образом, расположение внешних сил в одной из главных плоскостей инерции балки и будет общим случаем плоского изгиба. [c.243] Балки зетового профиля нередко применяются в качестве прогонов, укладываемых поверх стропильных ферм. Под действием вертикального давления, передающегося от веса кровли и снега, прогоны будут изгибаться в плоскости действия внешних сил (при соответствующем угле наклона крыши), т. е. в условиях плоского изгиба. [c.243] Надо заметить, что в некоторых случаях в балках несимметричного (относительно оси, лежащей в плоскости действия сил) сечения появляется дополнительная система нормальных и касательных напряжений, связанная с добавочньш кручением балки. [c.243] Вернуться к основной статье