ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вычисление нормальных напряжений при изгибе. Закон Гука и потенциальная энергия при изгибе из "Сопротивление материалов " В каждой точке поперечного сечения действуют нормальные напряжения г. Выделив вокруг любой точки с координатами у и Z элементарную площадку dF, обозначим действующую на нее силу dN adF. Отмеченная часть балки находится в равновесии под действием внешних сил, образующих пару М, и нормальных усилий dN, заменяющих отброшенную часть балки. Для равновесия эта система сил должна удовлетворять шести уравнениям статики. Напишем сначала уравнения проекций на 3 координатные оси х, у, г. [c.218] Однако полученных трех уравнений статики недостаточно для определения величины нормальных напряжений, так как а изменяется в зависимости от расстояния z площадки dF до нейтральной оси по неизвестному пока закону. Это расстояние (г) тоже неизвестно, так как неизвестно положение нейтральной оси у. [c.219] Обратимся к рассмотрению деформаций балки, для чего двумя бесконечно близкими сечениями 1—1 и 2—2 выделим из нее элемент длиной dx. Вид этого элемента до и после деформации показан на рис. 152. [c.219] Для ясности чертежа деформация элемента показана с сильным преувеличением. Оба поперечных сечения, оставаясь плоскими, повернутся вокруг нейтральных осей (на фасаде точки Oi и Оа) и образуют угол da. Нейтральный слой показан пунктиром. Линия О1О2, принадлежащая нейтральному слою, после деформации сохранит свою первоначальную длину dx. Все волокна, лежащие выше нейтрального слоя, укорачивакггся, а ниже — удлиняются. [c.219] удлинения волокон пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя. [c.219] Уравнение (11.4) показывает, что величина нормальных напряжений при изгибе меняется прямо пропорционально расстоянию z рассматриваемой точки сечения от нейтрального слоя. Значит, напряжения распределены по высоте сечения по линейному закону. [c.220] Уравнение (11.4) дает только характер распределения нормальных напряжений по сечению, но им нельзя воспользоваться для вычисления величины их, так как ни р ни 2 неизвестны, поскольку неизвестно расположение нейтрального слоя по высоте сечения. [c.220] Для определения а в зависимости от изгибающего момента обратимся к совместному решению полученного из рассмотрения деформаций уравнения (11.4) и уравнений статики (11.1), (11.2) и (11.3). [c.220] Таким образом, положения нейтральной оси и нейтрального слоя вполне определены. Нейтральный слой заключает в себе центры тяжести всех сечений стержня. [c.221] Полученный интеграл — сумма произведений из элементарных площадок на расстояния их до координатных осей — называется центробежным моментом инерции относительно осей у иг. Центробежный момент инерции может быть положителен, может быть и величиной ртрицательной, а следовательно, может и обратиться в нуль, так как координаты элементарных площадок могут иметь разные знаки. [c.221] Таким образом, нормальные напряжения в любой точке сечения прямо пропорциональны величине изгибающего момента и раестоя-нию точки от нейтральной оси и обратно пропорциональны моменту инерции сечения относительно нейтральной оси. [c.222] Нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения и перпендикулярна к плоскости действия сил. [c.222] Момент инерции сечения, как видно из формулы (11.7), измеряется в единицах длины в четвертой степени и зависит от формы и размеров сечения. Практические приемы его вычисления для различных сечений будут показаны далее. [c.222] Отсюда видно, что чем больше при данном изгибающем моменте момент инерции сечения J, тем большим окажется радиус кривизры нейтрального слоя, а стало быть, и оси балки, т. е. тем меньше балка искривится. [c.222] Величина момента инерции характеризует способность балки сопротивляться искривлению в зависимости от размеров и формы поперечного сечения балки. Модуль упругости Е характеризует ту же способность балки сопротивляться искривлению, но уже в зависимости от материала балки. Произведение EJ называется жесткостью балки при изгибе, и чем оно больше, тем меньше искривится балка при действии данного изгибающего момента. [c.222] В дальнейшем, при обозначении момента инерции относительно нейтральной оси у, мы часто будем опускать индекс у, обозначая его для краткости просто J вместо Jy. [c.222] Вернуться к основной статье