ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Анализ устойчивости пластической деформации металлов Вероятностный критерий пластичности из "Теория обработки металлов давлением " Опыты на растяжение дают информацию ещё об одной интересной величине - о временном сопротивлении (или пределе прочности) металла Это напряжение определяет тот момент, когда пластическая деформация образца локализуется в некотором сечении -шейке, где затем происходит разрушение. Образование шейки связывают обычно с потерей устойчивости пластической деформации металла. Именно образование шейки не позволяет процессу пластической деформации развиваться по всему образцу равномерно. При дальнейшем нагружении именно локализация деформации при растяжении существенно ограничивает пластичность многих металлов. [c.206] Не будем вдаваться в детали анализа критериев пластичности или критиковать их. Отметим лишь, что их много, но попытки создания единого критерия, позволяющего по результатам одного вида испытаний, например, на растяжение, предсказать пластичность металла при различных вариациях операций обработки металлов давлением, окончились неудачно. Не удавалось предсказать даже момента потери устойчивости при растяжении. [c.207] Несмотря на простоту, критерий Холломона, который используют обычно в виде (5.2), имеет один маленький, но существенный недостаток - он не способен описать момент потери устойчивости пластической деформации при растяжении. Во-первых, существуют такие диаграммы а(в), у которых do/dE 0. Примером этому служат диаграмма растяжения свинца при комнатной температуре, а также диаграммы сверхпластической деформации, которые являют собой, очевидно, наиболее устойчивые режимы растяжения, так как именно при СПД достигается наивысшая пластичность металлов. [c.208] Во-вторых, даже при холодной деформации этот критерий не выполняется. Например, в момент образования шейки в меди do/dz - 1100 МПа, а напряжения а = 480 МПа, при растяжении алюминия do/de 370 МПа, а = 125 МПа. [c.208] Решение x (t) характеризует вынужденное состояние, а ХсО) - переходное состояние системы. Частное решение Лв(0 имеет тот же характер, что и правая часть уравнения (5,6). В том случае, когда правая часть (5.6) постоянна, постоянно и д в(i). [c.209] Если с течением времени при х(1) стремится к х т. е. в системе устанавливается ее вынужденное состояние, такую систему будем устойчивой. Если с течением времени (Г— оо) x t) неограниченно возрастает, такую систему будем называть неустойчивой. Наконец, в промежуточном случае, когда с течением времени Д ) не возрастает неограниченно и не стремится к дСв(0, будем считать систему нейтральной. [c.209] Рассмотрим, как изменяются слагаемые вида (5Л7)-(5.19) с увеличением значения t. Если действительный корень р -СИ отрицателен, т. е. а 0, то слагаемое (5.17) с увеличением t будет монотонно убывать, стремясь к нулю. Если р =(х 0, то это слагаемое будет с увеличением значения t неограниченно возрастать. [c.211] Аналогично, если действительная часть комплексного корня отрицательна, т. е. сХу 0, то с увеличением значения г слагаемое вида (5.19) будет изменяться по затзосающей синусоиде, амплитуда которой с увеличением значения t стремится к нулю. [c.211] Если же действительная часть комплексного корня положительна, т.е. ttv 0, то с увеличением значения t слагаемое вида (5.19) будет изменяться по возрастающей синусоиде, амплитуда которой неограниченно растет. Наконец, если действительный корень или действительная часть комплексного корня равны нулю, слагаемые вида (5.17) и (5.19) не будут ни стремиться к нулю, ни неограниченно возрастать. В том случае, если комплексные корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части, а действительные корни просто отрицательны, то с увеличением / все слагаемые решения (5.16) стремятся к нулю. Таким образом, д с(/)— 0, откуда следует, что система в этом случае устойчива. [c.211] Наконец, если действительная часть комплексных корней характеристического уравнения равна нулю или один действительный корень равен нулю, а все остальные имеют отрицательные действительные части и при t— оо lim xdt) не стремятся ни к нулю, ни к бесконечности, то в этом случае система нейтральна или, иначе говоря, находится на границе устойчивости. Из изложенного следует, что необходимым и достаточным условием устойчивости системы является отрицательность действительных частей всех корней характеристического уравнения. [c.212] Или иными словами для того, чтобы система автоматического регулирования была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения, соответствующего ей, находились в левой части комплексной плоскости. [c.212] При изменении параметров системы, а значит, и коэффициентов характеристического уравнения, корни его будут перемещаться в комплексной плоскости и могут пройти через мнимую ось в правую часть, что будет соответствоватЁ) переходу устойчивой системы к неустойчивой. Соотношение между коэффициентами характеристического уравнения, при котором, по крайней мере, пара сопряженных комплексных корней или один действительный корень находятся на мнимой оси, а все остальные расположены левее её, определяет границу устойчивости. [c.212] Системы автоматического регулирования обычно описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, в связи с чем возникает вопрос в какой мере результат исследования устойчивости линеаризованной системы, т. е. по линеаризованным уравнениям, или, как иначе говорят, по уравнениям первого приближения, будет справедлив для исходной нелинейной системы (при не слишком больших отклонениях) Этот вопрос был полностью решен знаменитым русским математиком А.М. Ляпуновым в 90-х годах прошлого века, когда он сформулировал и доказал две теоремы, которые здесь приведем без доказательства. [c.212] Теорема 1. Если все корни характеристического уравнения линеаризованной системы имеют отрицательные действительные части, то исходная система, описываемая нелинейными дифференциальными уравнениями, будет устойчивой. [c.212] Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения линеаризованной системы имеется хотя бы один корень с положительной действительной частью, то исходная система, описываемая нелинейными уравнениями, будет неустойчивой. [c.213] Вычисление корней характеристического уравнения зачастую представляет сложность. Поэтому важное значение приобретают правила, которые дают возможность, минуя вычисление корней, определить устойчивость системы. Эти правила, называемые критериями устойчивости, позволяют не только установить, устойчива система или нет, но и выяснить влияние тех или иных параметров или структурных изменений в системе на её устойчивость. Известны различные формы критериев устойчивости (Михайлова, Найквиста и др.), но математически все они эквивалентны, так как выражают один и тот же факт в случае устойчивости системы все корни характеристического уравнения лежат в левой части комплексной плоскости. [c.213] Решив это уравнение и проанализировав расположение его корней на комплексной плоскости, можно однозначно судить об устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. [c.215] В качестве примера исследования устойчивости пластической деформации рассмотрим кривую Да(е) или Aa(i) для свинца, представленную на рис. 5.1, где Аа - деформационное упрочнение. [c.215] Кривая имеет три характерных участка. Для многих металлов, деформация которых происходит при более низких гомологических температурах, кривая Аа(0 имеет два участка - выпуклостью вверх и выпуклостью вниз, как для алюминия или меди при комнатной температуре (рис. 5.2). [c.216] Для лучшей аппроксимации экспериментальной зависимости Аа( ) её целесообразно разбить на отрезки, для которых имеются свои коэффициенты в аппроксимирующей функции. [c.216] Вернуться к основной статье