ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Продольные, крутильные и поперечные колебания прямолинейного стержня из "Численные методы в механике " Перемещения (2.49), (2.51), будучи нестесненными, не вызывают температурных деформаций. Но, если этим перемещениям будут препятствовать другие стержни, то нагретый стержень в плоской стержневой системе будут испытывать изгиб и сжатие. Это приведет к появлению таких же деформаций в остальных стержнях. Таким образом, при расчете плоских стержневых систем на температурное воздействие нужно привлекать полное уравнение МГЭ изгиба и растяжения для стержней, испытывающих непосредственное действие температуры, и неполное уравнение для остальных стержней. [c.121] В данной главе рассматриваются свободные и вынужденные установившиеся гармонические колебания стержневых систем. Как и в статике, точные дифференциальные уравнения гармонических колебаний стержней являются нелинейными. Упрощая задачи динамики, нелинейные уравнения линеаризуют. Точность решений линейных уравнений удовлетворяют требованиям инженерных расчетов при //г 10, поэтому они используются в инженерной практике. Линейные дифференциальные уравнения содержат частные производные по координате хи времени t. Методом Фурье разделения переменных уравнения с частными производными сводятся к уравнениям с обычными производными, описывающими перемещения стержня в амплитудном состоянии. Принцип Д Аламбера, используемый при выводе дифференциальных уравнений, позволяет рассматривать задачи динамики как задачи статики. Поэтому ниже применены предпоженные правила знаков для граничных параметров и нагрузки в п. 1.2, 1.4. [c.124] Рассмотрим алгоритм решения этих задач по МГЭ. Следует отметить, что проблема определения частот собственных колебаний упругих систем продолжает оставаться актуальной задачей. Связано это с недостатками существующих методов. Так, методы сил и перемещений позволяют определять точный спектр частот собственных колебаний (в рамках допущений, принятых при выводе дифференциальных уравнений колебаний), но частотные уравнения этих методов содержат точки разрывов 2-го рода [307]. Возможно также появление фиктивных и пропуск действительных частот вследствие замены заданной расчетной схемы на основную схему [26]. В МКЭ частоты определяются из векового уравнения [184], где спектр частот во-первых ограничен, во-вторых неточен из-за замены системы с бесконечным числом степеней свободы на систему с конечным числом степеней свободы. Аналогичные недостатки имеются и у других методов. [c.124] Ниже будет показано, что МГЭ позволяет отбросить недостатки существующих методов и одновременно аккумулировать их достоинства, т.е. решать задачи динамики на качественно более эффективном уровне. В частности, получать точный спектр частот в рамках принятых допущений, в частотном уравнении отсутствуют точки разрывов 2-го рода, исключается появление фиктивных и пропуск действительных частот и т.п. [c.124] Однородная система линейных алгебраических уравнений имеет нетривиальное решение Х фО только в том случае, если определитель матрицы коэффициентов равен нулю, т.е. [c.125] Уравнение (3.2) является трансцендентным частотным уравнением МГЭ, корни которого теоретически дают полный спектр частот собственных колебаний линейной системы. В отличие от существующих методов определитель (3.2) содержит лишь систему фундаментальных функций, что позволяет существенно упростить поиск частот собственных колебаний Интервал, содержащей корень уравнения (3.2), фиксируется при изменении знака определителя или при его стремлении к нулю. [c.125] После определения корней уравнения (3.2) можно найти формы и относительные амплитуды собственных колебаний. Для этого необходимо частоту собственных колебаний подставить в аргументы фундаментальных функций матрицы Д и решать уравнение (3.1) при единичном значении одного или нескольких параметров вектора В. [c.125] Поиск частот собственных колебаний связан с приведением матрицы Д к верхнетреугольному виду и дальнейшему анализу знаков диагональных элементов или величины определителя (3.2). При росте частот собственных колебаний растут и абсолютные величины диагональных элементов верхнетреугольной матрицы. Поэтому верхняя граница спектра частот по МГЭ зависит от возможностей ЭВМ. Для определения частот можно использовать метод исключения Гаусса, где достаточно выполнять только прямой ход. Представим фундаментальные решения линейных дифференциальных уравнений простых видов колебаний. [c.125] Данное уравнение по символьной записи не отличается от уравнения продольных колебаний (3.6). Поэтому решение уравнения (3.12) будет совпадать по форме с решением уравнения (3.6), т.е. [c.128] Вернуться к основной статье