ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Соотношения МЕЭ для стержней с переменной геометрией из "Численные методы в механике " В данном параграфе приведены решения задач статики стержневых систем по алгоритму МКЭ, изложенному в п. 1.6. Сделано это с целью сравнения аналитического варианта МГЭ и варианта МКЭ в форме метода перемещений. Представленные решения задач по МКЭ здесь и ниже выполнены под редакцией д-ра техн. наук, профессора Д.Д.Работягова. [c.106] Пример 2.14 Построить эпюры М, Q, N в статически неопределимой плоской раме (рисунок 2.30). Алгоритм МКЭ представим рядом пунктов. [c.106] Данная рама является два раза кинематически неопределимой. Поэтому в заданную систему вводим две связи (рисунок 2.31), нумеруем конечные элементы и стрелками указываем начало и конец каждого КЭ. [c.106] Составляя уравнения равновесия узлов, находим компоненты вектора нагрузки (рисунок 2.33). [c.107] Случай изменяющейся геометрии стержней приводит к дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами (ступенчатые стержни, стержни с непрерывно меняющимися по длине сечениями, криволинейные стержни с переменными радиусами кривизны, а также стержни с изменяющимися по длине массой, сжимающей силой, коэффициентом постели и т.п.). Теория построения решений таких уравнений приводит к псевдодифференциальным уравнениям и сложным фундаментальным функциям. Известны буквально считанные случаи в механике и других науках, когда удавалось построить фундаментальные решения для дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В публикациях на эту тему наметился другой подход, когда объект с распределенными параметрами заменялся объектом с кусочно-постоянными параметрами (рисунок 2.36). В этом случае все ступени описываются дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, решения которых всегда можно получить. При достаточном числе ступеней решение для дискретизированного таким образом стержня будет мало отличаться от решения для стержня с распределенными параметрами. Эта простая идея довольно долго не могла быть реализована из-за отсутствия соответствующего метода расчета. Метод начальных параметров (МНП), методы сил и перемещений, МКЭ и другие методы приводят алгоритм расчета к произведениям матриц фундаментальных функций, что при большом числе ступеней существенно ухудшает точность результатов вследствие неустранимых погрешностей округления. Предлагаемый аналитический вариант МГЭ свободен от этого недостатка. [c.109] Матрица коэффициентов А для ступенчатого объекта формируется посредством операции квазидиагонализации (матричного суммирования), а ее большая разреженность по определению исключает накопление погрешностей. Поэтому в данном варианте МГЭ можно разбивать объект на большое число ступеней (1000 и более), при этом исключаются недостатки существующих методов, а результаты будут стремиться к точным значениям. [c.110] В ряде случаев, при малом числе ступеней, целесообразней использовать рекуррентные соотношения метода начальных параметров, что может существенно уменьшить порядок матрицы А. [c.110] Рассмотрим стержень кусочно-постоянной жесткости (рисунок 2.37). Такой стержень имеет два промежуточных узла. Уравнения равновесия и совместности перемещений узлов приводят к равенствам для кинематических и статических параметров (на примере поперечного изгиба). [c.110] Обобщая полученные выражения на случай т ступеней, приходим к рекуррентным соотношениям метода начальных параметров. [c.111] Вернуться к основной статье