ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Получение разрешающих уравнений для одномерных задач из "Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов " Одномерные и квазиодномерные задачи механики описываются системами обыкновенных диф ренциальных уравнений. К одномерным можно отнести задачи о деформировании стержней, балок, а также круглых пластин и оболочек вращения при осесимметричном нагружении. В ряде случаев для трехмерных и двумерных задач теории упругости можно применить метод разделения переменных и решать задачу в рядах Фурье или методом Канторовича. Задачи, для которых тем или иным способом возможно приближенно перейти от уравнений в частных производных к обыкновенным уравнениям, называются квазиодномерными. Для расчетов на ЭВМ наиболее удобной формой представления разрешающих дифференциальных уравнений является система дифференциальных уравнений первого порядка, или каноническая система. Для таких систем разработаны стандартные программы интегрирования, а также различные вычислительные приемы, обеспечивающие достаточную точность решения краевых задач [20, 33]. [c.85] Ниже рассмотрим вариационно-матричный способ [4, 38, 391 получения систем дифференциальных уравнений первого порядка для одномерных и квазиодномерных задач статики, устойчивости и колебаний. При выводах будем пользоваться векторно-матричной Символикой, которая позволяет формально описать модель деформирования упругой системы, компактно выполнить необходимые преобразования и составить программы для ЭВМ. [c.85] В случае смешанных граничных условий задаются либо компоненты векторов (Ч з , либо компоненты (4 4 . [c.88] Другое доказательство этих свойств симметрии с помощью теоремы о взаимности работ приводится в [8]. Соотношения (3.62) для разрешающей системы будут выполняться при условии, если скалярное произведение вектора обобщенных силовых факторов и вектора обобщенных перемещений пропорционально работе внутренних сил в сечении. [c.89] Матричные блоки [Aij вычисляются по формулам (3.61) необходимые для их вычисления матрицы [5 ] определяются выражениями, аналогичными (3.57), при замене матрицы [G] на матрицу коэффициентов упругости в приращениях, т. е. на [G ]. [c.90] Полученная система (3.64) позволяет вычислить поправки для обобщенных перемещений AXj +i и обобщенных силовых факторов а затем перейти к новому т + 1) -му приближению = - m + АХ 1, + A t i. В случае необходимости процесс уточнения повторяется. [c.90] Для однородной системы дифференциальных уравнений граничные условия будут тоже однородными. На краях одномерной системы при S = Sg, S = S/i должны быть заданы условия либо = О (геометрические), либо = О (силовые). Полученная система дифференциальных уравнений (3.70) позволяет решить следующие задачи на собственные значения при со = О и Т]фО определить критические нагрузки Л р при Л = 1, Т фО, р О — найти собственные частоты и формы колебаний упругой системы с учетом предварительного нагружения (в частном случае при 17 ] = О определить частоты и формы ненагруженной системы). [c.91] Приведенные в данном параграфе матричные соотношения для определения коэффициентов канонических систем не дают явных аналитических зависимостей, но позволяют для конкретного сечения получить числовые значения коэффициентов. Для сокращения вычислительных операций, выполняемых ЭВМ на каждом шаге численного интегрирования, в случае переменных коэффициентов можно воспользоваться приемом аппроксимации. Для этого разобьем одномерную систему по координате s на участки длиной А (рис. 3.2). [c.91] Вернуться к основной статье