ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Функционал Лагранжа и уравнения равновесия упругого тела из "Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов " Задача определения напряженно-деформированного состояния твердого тела в общем случае внутренне статически неопределима, и для ее решения необходимо дополнить уравнения равновесия конкретными зависимостями между напряжениями и деформациями. Рассмотрим нелинейно упругое тело, у которого напряжения являются однозначными функциями деформаций, не зависящими от истории деформирования. Частный случай такого тела (линейно упругого) был подробно описан в гл. 1. [c.75] Консервативными будем считать такие силы, работа которых на любом допустимом перемещении тела, к которому они приложены, не зависит от пути деформирования, а определяется только начальной и конечной конфигурацией тела. Примером консервативных сил служат мертвые объемные и поверхностные силы, т. е. силы, не изменяющиеся по величине и направлению при любых деформациях тела. [c.76] Знаки — перед интегралами соответствуют случаю, когда объемные и поверхностные р силы направлены так же, как и перемещения w тогда с ростом перемещений потенциал внешних сил уменьшается. [c.76] В положении равновесия системы функционал Лагранжа принимает стационарное значение. В этом нетрудно убедиться, если подсчитать первую вариацию функционала Лагранжа бЭ = 6J/ + 8П. [c.76] Первая вариация потенциала внешних сил П (3.15) равна бЯ = — j б 1 1 dy - I б н Т р dS. [c.76] Существует также теорема [3], которую часто называют принципом минимума полной потенциальной энергии или теоремой Лагранжа в состоянии равновесия консервативной системы ее полная потенциальная энергия принимает стационарное значение, причем в устойчивом состоянии равновесия это стационарное значение — минимум. Подчеркнем, что принцип минимума полной потенциальной энергии охватывает все консервативные системы — как линейные, так и нелинейные. Нелинейность консервативной системы может быть обусловлена двумя причинами геометрическими и физическими. Геометрические нелинейности обычно связаны с большими перемещениями гибких тонкостенных систем типа стержней, мембран или оболочек. Физическая нелинейность — это нелинейность зависимости между напряжениями и деформациями в упругом твердом теле. [c.77] В классической линейной теории упругости принята следующая постановка задачи уравнения равновесия формулируются для недеформированного состояния, компоненты деформаций связаны с перемещениями линейными зависимостями, а материал подчиняется закону Гука, т. е. напряжения и деформации связаны между собой линейными зависимостями. В этом случае задача определения напряженно-деформированного состояния сводится к линейным дифференциальным уравнениям, всегда имеющим единственное решение. Нетрудно показать, что напряженно-деформированное состояние, соответствующее этому единственному решению, является устойчивым. [c.77] Другими словами, в линейных задачах теории упругости вторая вариация полной потенциальной энергии выражается той же положительно определенной квадратичной формой (3.17), что и удельная потенциальная энергия деформации. Следовательно, б 5 О, и всякое положение равновесия упругой линейной системы устойчиво, поскольку полная потенциальная энергия имеет минимальное значение. [c.78] В общем случае условие (3.21) дает набор граничных условий, аналогичных (3.10) либо Ы = (геометрическое условие), либо / = О (силовое условие), где под компонентой /( понимается дифференциальное соотношение, определяющееся г-й Строкой матричного уравнения / = [L ] [G] [L] — /г . Геометрические граничные условия иногда называют главными, силовые граничные условия — естественными. [c.79] С другими вариационными постановками задач для упругих систем можно ознакомиться в работах 140, 46]. [c.79] Вернуться к основной статье