ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общая формулировка проблемы оптимизации из "Моделирование конструкций в среде MSC.visual NASTRAN для Windows " Рассмотрим следующий пример. Имеется сложный космический аппарат на стадии проектирования. Общий вес аппарата не может превышать 3000 кг. Вес оборудования, включая полезную нагрузку - 2000 кг. Статические нагрузки оценены на основе максимального ускорения при запуске на орбиту. Для нормальной работы системы управления требуется, чтобы частота первой формы колебаний была выше 12 Гц. Основной целью является снижение массы конструкции. Предлагается три варианта исполнения конструкции аппарата - ферменная конструкция, рамная конструкция и подкрепленная оболочка. На данный момент все варианты конструкций не удовлетворяют требованиям, в связи с этим ожидается, что их вес придется увеличить. Нужно определить, какой вариант конструкции может обладать лучшими характеристиками, и выдать исходные данные для этапа детального проектирования. Также необходимо выяснить, каков будет выигрыш в весе, если требования по частоте собственных колебаний снизятся с 12 до 10 Гц. Конструкция космического аппарата включает в себя около 150 параметров конструкции, которые можно изменять одновременно. [c.475] Предположим, что мы стоим на склоне холма и должны найти самую нижнюю точку - это наша целевая функция. Предположим, что есть несколько заборов, которые вынуждают нас ограничить наши поиски областью внутри этих заборов. Эти заборы, или ограничения, играют роль границ нашего пространства переменных, которое является областью, определяющей все наши возможные позиции на холме. [c.475] Такая задача не слишком трудная. Достаточно осмотреться вокруг и определить, какая точка на холме покажется нам самой нижней. Осматривая холм, мы анализируем тысячи возможных точек, которые могут являться самыми нижними, и на основании этого принимаем решение. Если же мы действуем вслепую, наш процесс принятия решения будет не простым. Тогда возникает задача, которую возможно решить с помощью программы численной оптимизации. Существует множество методов решения подобных задач. Эти методы относятся к алгоритмам численной оптимизации. [c.475] Для координирова п1я точки на холме мы можем использовать координаты север-юг и восток-запад. В терминах проектной оптимизации это пространство с двумя проектными переменными, в котором для однозначного определения точки в пространстве параметров требуется две координаты. Две проектные переменные - это самая большая размерность пространства, которое мы можем легко визуализировать. Учитывая, что программа оптимизации может иметь дело с десятками и даже сотнями проектных переменных, мы поймем, что задача сложнее, чем казалась вначале. [c.476] Если значения ограничений отрицательны, то мы удовлетворяем этим ограничениям и находимся, следовательно, внутри заборов. Положение -го забора можно записать уравнением g0) = 0. Также может случиться, что мы захотим, чтобы оптимизация осуществлялась вдоль заданной кривой, лежащей на склоне холма. Это жесткое ограничение, или ограничение равенства. Ограничения равенства, если они есть, в оптимальной конструкции должны удовлетворяться точно. Ограничения области проектных переменных накладываются для того, например, чтобы при оптимизации пластинки ее толщина не могла быть отрицательной, в этом случае xj = 0. [c.476] Рассмотрим классическую задачу оптимизации трехстержневой фермы (рис. 13.1). [c.476] Целью проектирования является выбор площадей поперечных сечений стержней bj, Ь. , (проектных переменных) так, чтобы ферма имела наименьшую массу, и при этом удовлетворялись ограничения на напряжение при ее статическом нагружении. [c.476] Из линейных соотношений теории упругости получим горизонтальное w, и вертикальное 2 смещение для общего узла, которые будут функциями модуля упругости материала Е, размера а, площадей поперечных сечений стержней (i,, Ь , Ь ), и приложенной нагрузки R . [c.477] Теперь задачу проектирования можно рассматривать как задачу выбора таких проектных переменных й,, Ь , Ь , которые минимизируют массу (13.1) и удовлетворяют ограничениям (13.2), (13.3)-(13.6). Заметим, что смещения и играют в данной формулировке важную роль. Эти переменные определяют собой отклик конструкции на приложенную нагрузку и называются переменные состояния. [c.478] Рассмотрим случай, в котором нагрузка величиной R = 20000 приложена под двумя углами 0 = л/4 и 0 = Зл/4. Ферма предполагается симметричной, так что й, = Ь . Следовательно, достаточно рассмотреть первое условие нагружения и наложить ограничения на напряжения только для стержней 1 и 2. Ограничением на напряжение является величина а = 20000. Величины Р, а, й и а имеют размерность фунт, дюйм, дюйм , и фунт/дюйм соответственно. Как показано в разделе 5.1, для статического анализа единицы измерения силы и длины могут выбираться независимо, поэтому в данном случае выбор единиц измерения формален. [c.478] Области, в которых ограничения нарушаются, находятся под кривыми gj и (рис. 13.2). Если для какого-либо сочетания значений переменных ни одно из ограничений не нарушено, то говорят, что такая конструкция возможна (хотя может быть и не оптим ьна). Если хотя бы одно из ограничений нарушено, конструкция является невозможной. [c.479] Ясная постановка задачи оптимизации позволила найти графическое решение в пространстве двух переменных. На практике мы обычно имеем более чем две переменные проектирования, неявные ограничения и целевую функцию. Эти усложнения требуют эффективной численной поисковой процедуры. [c.480] Алгоритм оптимизации в программе NASTRAN принадлежит к семейству методов, называемых градиентными. Эти методы в ходе численного поиска оптимальной конструкции используют кроме значений функции еще и ее градиент. Процесс численного поиска может быть кратко описан следующим образом для дайной точки в пространстве переменных определяются градиенты целевой функции и ограничений, а затем эта информация используется для определения направления поиска, В этом направлении мы двигаемся так далеко, как это возможно, после чего проверяем, найдена ли оптимальная точка. Если точка не найдена, то этот процесс повторяем до тех пор, пока не окажемся в ситуации, когда нельзя добиться улучшения без нарушения какого-либо ограничения. [c.480] Алгоритму численного поиска необходимо иметь какой-то формальный критерий оптимальной точки. Текущий вариант конструкции мог бы сопоставляться с этим критерием. Необходимо убедиться в том, что критерий удовлетворен и оптимальная конструкция найдена. Такой критерий получен из условий Куна-Таккера, которые являются физически интуитивными. Рассмотрим два варианта ограниченийg,(ж) iig (x) в пространстве двух переменных, рис. 13.3а и рис. 13.36. На этих рисунках также показано несколько линий равных значений целевой функции F x). [c.481] Если мы вычислим градиенты целевой функции и двух активных ограничений в точке ж , которая лежит на пересечения двух ограничений (рис. 13.3а), то увидим, что все они указывают приблизительно в противоположных направлениях. Другими словами, через точку (х невозможно провести прямую так, чтобы векторы всех градиентов лежали по одну сторону от нее. Для этой ситуации условия Куна-Таккера формулируются следующим образом в точке оптимума векторная сумма градиентов целевой функции и всех активных ограничений должна быть равна нулю при подобранных определенным образом положительных множителях, которые называются множителями Лагранжа. Иг. рис. 13.4 показана данная векторная сумма для рассматриваемого примера. Здесь значения множителей Лагранжа, которые позволяют векторной сумме сойтись к нулю, О и 0. Следовательно, ж является точкой оптимума. [c.481] Точка х на рис. 13.36 не является точкой оптимума, так как для нее невозможно выполнить условия Куна-Таккера. Очевидно, что для этого случая точкой оптимума является точка хР , в которой ограничение является пассивным. В этой точке градиенты целевой функции и активного ограничения gj лежат на одной прямой и, следовательно, условия Куна-Таккера выполнимы. [c.482] Условия Куна-Таккера полезны, даже если в оптимальной точке нет активных ограничений. В этом случае рассматривается только градиент целевой функции, а он в точке оптимума должен быть равен нулю. [c.482] Для вычисления векторов градиента целевой функции и градиентов ограничений необходимо знать, как изменяется отклик конструкции в зависимости от вариаций параметров проектирования. В качестве отклика, например, может выступать прогиб балки в определенных сечениях, напряжения или деформации в различных точках конструкции, собственные частоты и т.п. В качестве параметров проектирования могут использоваться площади стержней, толщины оболочек, размеры поперечных сечений балок и т.д. [c.482] Эти оценки изменений отклика на вариации параметров, называемые проектными коэффициентами чувствительности, вычисляются в ходе анализа чувствительности модели. [c.482] Вернуться к основной статье