ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Система со многими степенями свободы и проблема собственных значений из "Моделирование конструкций в среде MSC.visual NASTRAN для Windows " Здесь [М] - матрица масс конструкции, [С] - матрица демпфирования, [/С] -матрица жесткости R) - известный вектор внешней нагрузки, зависящий от времени и) - неизвестный вектор перемещений узлов конечно-элементной модели, зависящий от времени. [c.45] Математически система (1.15) представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка. В момент времени г = О определены начальные условия - mJ и ь . Векторы ускорений и скоростей - м и м - вычисляются в процессе численного интегрирования системы (1.15) вместе с вектором и . [c.45] Для конструкций, модели которых имеют несколько степеней свободы, кроме собственных частот имеет смысл определение собственных форм колебаний. Собственные частоты конструкции - это частоты, с которыми конструкция стремится колебаться, если ее вывести из состояния покоя. Форма деформации конструкции при колебании с собственной частотой называется или собственной формой, или нормальной модой, или модальной формой. Каждая собственная форма ассоциируется с определенной собственной частотой. [c.45] Собственные частоты и формы являются функциями свойств конструкции и граничных условий. При изменении свойств конструкции изменяются собственные частоты, но собственные формы не обязательно меняются. [c.45] Рассмотрим собственные колебания консольной балки с параметрами длина L = 500 мм площадь перечного сечения Л = 20 мм момент инерции сечения J = 166.67 мм модуль упругости материала Е = 200 ООО МПа плотность материала р = 7.8 10 т/мм (рис. 1.18). [c.46] Если пропорционально изменить все размеры балки, то собственные формы и собственные частоты колебаний останутся прежними. [c.46] При изменении модуля упругости материала балки собственные частоты будут другими, а собственные формы останутся теми же самыми. [c.47] Если изменить граничные условия, то изменятся и частоты и формы колебаний. Закрепим, например, балку так, чтобы она шарнирно опиралась обоими концами, тогда ее собственные частоты и формы станут другими (рис. 1.19). [c.47] Собственные частоты и формы вычисляются в процессе решения проблемы собственных значений, которая формулируется следующим образом. [c.47] Уравнение (1.19) имеет п корней X. = со/. Числа X. называются собственными значениями системы (1.18). [c.47] При выполнении условия (1.19) одно из уравнений системы (1.20), по крайней мере, является следствием остальных. Поэтому каждому значению соответствует определенное соотношение между амплитудами ф. . Иными словами, все амплитуды вектора могут быть выражены через одну из них. Соотношения между амплитудами ф определяют г-ю собственную форму колебаний. [c.47] Из уравнения (1.17) следует, что все степени свободы в процессе колебания с собственной частотой совершают синхронное движение. Таким образом, конфигурация конструкции не изменяет своей базовой формы, а меняются только амплитуды. [c.48] Собственные решения имеют некоторые свойства, полезные в различных видах динамического анализа. [c.48] Уравнения (1.22) и (1.23) означают, что матрица [Ф] может служить матрицей преобразования для матриц жесткости и масс конструкции в форму обобщенной матрицы жесткости [Л] и обобщенной матрицы масс [/]. [c.49] Тем не менее, необходимо иметь в виду следующее важное преимущество метода разложения по собственным формам, которое делает реальным расчет некоторых конструкций, в то время как прямое интегрирование становится недопустимо дорогим. [c.50] Рассмотрим разделенные уравнения (1.25). Мы видим, что если r.(t) и начальные условия для .(0 нулевые, то = О в любой момент времени. Эти специфические условия могут возникнуть, если перемещения и скорости всех узлов конечно-элементной модели в начальный момент времени нулевые, а интенсивность нагрузки распределена по j-ой собственной форме. Здесь только не равно нулю. В общем случае вряд ли можно ожидать выполнения таких условий, поскольку нагрузка произвольная. Однако, в большинстве случаев нагрузка почти ортогональна к большому количеству старших форм. Ортогональность к г-ой собственной форме означает, что произведение близко к нулю. Например, равномерно распределенная нагрузка по шарнирно опертой балке будет ортогональна второй и четвертой форме (см. рис. 1.19). [c.50] Кроме этого, частотный спектр нагрузки определяет, насколько большой вклад в реакцию вносит г-е уравнение, а именно, реакция относительно велика, если возбуждающая частота близка к (о.. [c.50] Как показывает опыт, эти соображения справедливы для многих практических условий нагружения, когда для получения удовлетворительной точности достаточно учитывать ограниченное число разделенных уравнений. Наиболее часто используются первые р уравнений, где р п. Это означает, что на первом шаге решения нужно найти только первые р собственных форм и частот. [c.50] Вследствие ограниченного числа форм процедура разложения по собственным формам становится значительно более эффективной, чем прямое интегрирование. В общем случае количество рассматриваемых форм определяется особенностями конструкции и частотным спектром внешней нагрузки. В ряде слу4аев независимо от порядка системы достаточно 10 нижних форм. При некоторых видах воздействия необходимо учитывать до 2п/3 форм. В вибрационных задачах могут рассматриваться частоты, заключенные между нижней и верхней границами. [c.50] Другая возможная процедура разделения уравнений движения (1.15) построена на результате решения квадратичной (несимметричной) проблемы собственных значений, учитывающей матрицу демпфирования и дающей комплексные собственные частоты и значения. Рассмотрение этой возможности выходит за рамки данной книги. [c.51] Вернуться к основной статье