ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Алямовский. Температурное поле ограниченного тела, имеющего форму параллелепипеда, с непрерывно действующим источником тепла из "Тепло- и массоперенос Том 5 " Во многих задачах теплопроводности для нахождения температурного поля тел конечных размеров пользуются хорошо известным способом наложения температурных полей [1]. Но нетрудно показать, что этот способ неприменим для случая, когда уравнение теплопроводности является неоднородным, например, когда должна быть решена задача по определению температурного поля пластины конечных размеров с непрерывно действующим источником тепла. [c.14] Решение задачи такого типа можно проводить следующим образом. [c.14] В таком виде искать решение естественно, так как ряд (18) удовлетворяет граничным условиям (14) — (16). [c.16] Для случаев, когда критерии Фурье (Ро , Ро , Ро ) велики, в формулах (25) и (26) достаточно в суммах ограничиться одним первым слагаемым. [c.18] В ряде работ А. В. Иванова [1, 2] предложен метод конечного интегрального преобразования, названный им конечным преобразованием Лапласа. [c.19] В настоящем сообщении дается простое и вместе с тем достаточно строгое построение названного преобразования, благодаря чему, во-первых, устраняются некоторые методологические недостатки, имеющие место в работах А. В. Иванова, во-вторых, глубже уясняется математическая сущность самого преобразования. [c.19] ) является выражение---- 2 - можно убедиться. [c.19] Равенство (5) определяет ядро K p,t) некоторого конечного интегрального преобразования, которое ставит в соответствие собственным функциям О задачи (1) и (2) их изображения Лапласа. [c.20] Для распространения этого преобразования на весь класс функций 2 [0, 1 достаточно воспользоваться полнотой системы собственных функций ф(А, 0 . [c.20] Нетрудно видеть, что разложение (8) сходится абсолютно и равномерно в любой конечной части комплексной р-плоскости, за исключением точек р = ( = Р 2,. ..). [c.20] Соотношение (8) дает двоякое представление для функции Ф(р) а) интегральное, в этом смысле Ф(р) является конечным изображением функции f ty, б) в виде ряда по функциям, являющимся преобразованиями Лапласа функций ф (Х , t) (отсюда, в частности, следует, что Ф(р) является мероморфной функцией с полюсами /Х ). [c.20] Перейдем к рассмотрению основного операционного соотношения. Пусть f(t) — непрерывно дифференцируемая функция такова, что / (х) /-2 [0 1- Пусть, далее. [c.21] Вычислим интеграл J. Подынтегральная функция удовлетворяет лемме Жордана, следовательно. [c.22] Рассмотрим на простейшем примере, какую роль играет слагаемое — ip + h)f 0) в формуле (14) при непосредственном применении исследуемого конечного преобразования к решению задач. [c.23] Последнее выражение представляет собой разложение f i) в ряд Фурье по собственным функциям задачи (1), (2). [c.24] В этом смысле применение рассмотренного конечного преобразования к решению конкретных задач представляет собой известную модификацию общего приема, разработанного Г. А. Гринбергом [4]. [c.24] В заключение отметим, что приведенное построение конечного преобразования нетрудно распространить на другие краевые задачи, для которых определима функция Грина. [c.24] Уравнение (1.2) решается вместо уравнения (1.1) исключительно с целью упростить изложение и избежать весьма громоздких выкладок, затрудняющих понимание метода. [c.25] Заметим, что нигде в дальнейшем не будет существенным то, что горизонтальная составляющая скорости перемещения среды задана в виде линейной функции координаты г. Предлагаемый метод дает решение при задании горизонтальной составляющей скорости перемещения среды в виде полиномов любых целых степеней относительно 2. [c.25] Вернуться к основной статье