ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Алгоритм решения задач нестационарной теплопроводности методом конечных элементов из "Расчет термонапряжений и прочности роторов и корпусов турбин " Постановка задачи. Как принято в методе конечных элементов (МКЭ), исследуемое тело может быть представлено в виде дискретной модели, состоящей из отдельных элементов. В соответствии с методом тепловых балансов сумма потоков теплоты, проходящих через граничные поверхности элемента, равна заданной величине. В частности, при отсутствии внутренних источников (стоков) тепла эта сумма равна нулю. При таком определении граничные поверхности конечного элемента являются теплопередающими. Замена сплошного тела дискретной моделью приводит к погрешности решения, которая в данной задаче сводится, в основном, к погрешности способа определения потоков тепла через граничные поверхности и способа определения температур. В статических и динамических задачах механики твердого тела, как правило, находят экстремум функционала, являющегося интегралом от его плотности по объему тела, выражаемого через значения переменных в узлах сетки. [c.25] В каждой из трех координатных поверхностей имеется четыре теплопередающих участка. Всего получаем 48 точек интегрирования для определения составляющих потоков теплоты в трехмерной задаче. К каждому узлу может примыкать до восьми элементов. Части объема, ограниченные тенлопередающими поверхностями и примыкающие к узлу, образуют элемент первого типа. В каждом таком объеме в восьми точках интегрирования рассчитывается произведение якобиана и объемной теплоемкости. В элементе второго типа таких объемов всегда восемь и, соответственно, 64 точки интегрирования. [c.26] Определение тепловых потоков по температурам в узлах элемента аналогично определению искомых величин в механике твердого тела по значению переменных в узлах элемента, найденного с использованием функции формы (координатные функции). Так как исходные и искомые величины отнесены в задачах теплопроводности и механики к узлам сетки, то имеется возможность решения связанных термомеханических задач. Блоки формирования сетки и выдачи результатов в этих задачах следует делать общими. [c.26] Для элементов, примыкающих к границе тела, поверхность тела является теплопередающей поверхностью. Температурные узлы располагаются на этой поверхности. [c.27] При этом в рамках двумерной конечно-элементной модели решается трехмерная задача нестационарной теплопроводности с геометрией тела, постоянной в третьем направлении. Краевые условия в третьем направлении изменяются. [c.27] Последнее слагаемое в формуле (1.9) учитывает передачу теплоты через границу тела и внутреннее тепловыделение. Для линейного изопараметрического элемента матрица AQ имеет размерность 4X4XNEL, где NEL — число конечных элементов второго типа. Цифра 4 определена числом узлов элемента. [c.27] В принятом алгоритме количество теплоты, аккумулированное в объеме, отнесенном к данному узлу, зависит от температуры только этого узла. Точность вычисления этого количества теплоты повышается при учете температур соседних узлов. Однако это может привести к необходимости решения системы уравнений, порядок которой равен числу узлов модели тела. [c.28] Поле температур через заданное число временных шагов может быть выдано на печать или записано во внешнюю память ЭВМ для выдачи на печать в удобной графической форме и последующего решения задач механики твердого тела. [c.28] По этой формуле определяют температуры и координаты в любой точке элемента. Зная температуру и координаты в любой точке элемента первого типа, можно определить поле потоков теплоты в нем и, следовательно, потоки теплоты через его теплопередающие поверхности. [c.28] Суммарная площадь, отнесенная к j-му (1, 3, 5, 7) узлу, т. е. площадь элемента второго типа, определяется выражением (1.18), рассчитанным по всем элементам, примыкающим к этому узлу. В цилиндрической системе координат в выражение (1.18) вместо единичной толщины вводим средний радиус элемента, умноженный на единичный угол. [c.29] Далее рассчитываем потоки теплоты в элементе. [c.29] В декартовой системе координат для двумерной плоской модели толщина слоя а = 1. Для трехмерной модели с неизменной геометрией тела в третьем направлении а определяет толщину соответствующего слоя. Для осесимметричной модели а = г Дф, где г — средний радиус теплопередающей поверхности соответствующего элемента, Аф = 1 рад. [c.31] с учетом выражения (1.36), определяющего тепловой поток через теплопередающие поверхности, находят матрицу AQ передачи теплоты. Для этого последовательно принимают тем пературу в каждом из узлов равной единице при нулевых зна чениях температуры во всех остальных узлах. Матрица AQ яв ляется трехмерным массивом AQ (i, /, k), где i — номер узла в котором рассчитывается поток теплоты j — номер узла с тем пературой, равной единице k — номер элемента второго типа от которого рассчитывается поток теплоты в t-й узел. В расчетах используется локальная нумерация узлов. Следовательно, для линейного элемента номера i, j изменяются от 1 до 4. [c.32] Для упрощения выражений обозначим А, = i,i, = i,2, v = X = Xi, у = Xi, z = сз. [c.34] Теперь в точках интегрирования определены все члены, входящие в выражение (1.44). Этих точек в элементе 48 (по четыре на каждом из 12 участков теплопередающих поверхностей). [c.35] Интегрирование по объему, отнесенному к одному узлу, выполняют по восьми точкам. Затем суммируют значения т С , найденные по (1.48), во всех элементах, прилегающих к данному узлу. [c.35] Смешанное (векторно-скалярное) произведение выражений, стоящих в правой части (1.55), вычисляется по стандартной программе. [c.36] Записав явные выражения dxildlj, получим квадраты длин этих векторов. Так, например. [c.36] Основные решения, которые были получены с помощью этого алгоритма, приведены в работе [1101 и в гл. 2. [c.36] Вернуться к основной статье