ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Витт инг—О неустойчивой форме уравнений пограничного слоя Прандтля из "Проблема пограничного слоя и вопросы теплопередачи " f(0)=F (0)=0 и ) монотонно приближается к асимптотическому виду (2). [c.267] Сначала решим уравнения (1) в интервале ri у о при выполнении краевых условий на бесконечности. Требование, чтобы в точке тг = = -rj эти решения (внешние) сходились с решениями в интервале -rj ifjo-(внутр енние решения), определяет условие для собственных значений 0(2. [c.268] Для выполнения краевого условия ы( оо )=0 необходимо знать асимптотическое поведение if]. [c.269] Используем метод вариации постоянной. [c.271] Нас интересует асимптотическое поведение решения (11). Для этого необходимо сначала подсчитать u (j ) по следующей формуле (доказательство в разд. IX). [c.271] Таким образом, решение (14) при его дальнейшем распространении на любые величины а 0, а тем более и на а ], удовлетворяет обоим краевым условиям на бесконечности. [c.274] В предыдущих разделах было установлено следующее. Во-первых, независимость решения дифференциальных уравнений (1) от в области У] 7)0. Указанное решение после удовлетворения краевого условия ы оэ) =0 имеет еще в качестве множителя одну произвольную постоянную. [c.274] Постоянство коэффициентов данной системы в интервале 0 тг1 обеспечивает выполнение условия Липшица во всем интервале. Поэтому в этой виутренней области существуют шесть линейно независимых фундаментальных решений системы (15). [c.275] Эту задачу взял на себя Институт прикладной математики (ЕТН) Цюриха (директор проф., доктор Е. Штифель). Под руководством д-ра Мели была исследована с помощью программирующей машины z4 область 0 а 5. Этим вычислениям на z4 предшествовали обширные теоретические исследования Мели, который высказал ряд ценных соображений. [c.276] Так как подробное изложение проделанной в Цюрихе работы выходит за рамки этой статьи, то здесь ограничимся краткими выводами и сообщением полученных результатов. [c.276] Интегрирование дифференциальных уравнений (1) проводилось в пределах значений rj от 5 до О через интервалы 0,2. Выбор в качестве отправной точки интегрирования rj =5 оказался весьма удачным, так как, с одной стороны, выполняются асимптотические свойства дифференциальных уравнений и при этом их решения получаются достаточно точными, а с другой — интегрирование от у =5 до нуля не приводит к значительным погрешностям. [c.276] Это дополнительно контролировалось повторными расчетами для различных величин. [c.276] Этим доказана справедливость формулы (12). [c.278] Краткое содержание. В литературе, посвященной уравнениям пограничного слоя Прандтля, всегда возникает вопрос о краевом условии, которое регулирует переход пограничного слоя в невязкий внешний поток. Многие авторы считают, что это условие перехода является излишним, если распределение скоростей по одной из нормалей к стенке (например, входной профиль) действительно смыкается для больших у с величиной внешней скорости. Это предположение можно строго доказать, если принять, что решения в отношении л являются аналитическими. Необходимо при этом, чтобы входной профиль был бесконечно дифференцируем, а все его производные имели асимптотическое разложение. [c.279] Для последующих рассуждений это не имеет существенного значения. [c.279] Для того чтобы данная функция ф являлась решением уравнения (5), необходимо, чтобы a (t/) в области 0 у оо могло быть по крайней мере 3 раза непрерывно дифференцируемо и чтобы три первых ряда, полученных почленным дифференцированием по у уравнения (7), в области В абсолютно и равномерно сходились. [c.280] На сегодня остается еще открытым вопрос, насколько существенно ограничение, налагаемое предположением об аналитичности Jj. Исходя из параболического характера уравнений пограничного слоя, можно предположить, что, во-первых, решения относительно у всегда анали-тичны и, во-вторых, при аналитических краевых условиях на стенке решения по X также являются аналитическими. Это отмечает также и С. Бернштейн [3]. [c.280] Допустим также, что все производные по и при у со можно представить в виде асимптотических рядов. Эти разложения, в ряд получаются, как известно, формальным дифференцированием (9). [c.280] Вернуться к основной статье