ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Экстремальные принципы для линейно-упругих конструкций из "Основы теории оптимального проектирования конструкций " Следовательно, разность — ра должна представлять смещения твердого тела. Ввиду того что такие смещения не допускаются опорами, разность ра — Ра тождественно равна нулю. Наконец, с учетом (1.25) из соотношения напряжения — деформации (1.15) следует, что тождественно равна нулю разность Qj — Qj. Этим доказательство единственности завершено. [c.15] Выражение в левой части (1.27) называется потенциальной энергией упругой конструкции, находящейся под действием заданных нагрузок Р , для кинематически допустимых смещений р и соответствующих деформаций q. Она получается путем вычитания из энергии деформаций для деформаций q виртуальной работы нагрузок на смещениях р. Неравенство (1.27) показывает, что смещения и деформации, дающие реще-ние нашей задачи для конструкции, минимизируют потенциальную энергию принцип минимума потенциальной энергии). [c.16] Определяющие уравнения для элементов жестко-идеальнопластических конструкций обычно выражаются через обобщенные напряжения Q/ и соответствующие обобщенные скорости деформаций. Так как в эти уравнения не входят деформации, не возникнет никаких недоразумений при использовании символа qj для обозначения типичной обобщенной скорости деформаций. Аналогичным образом символ будет использован для обозначения типичной обобщенной скорости. [c.16] ЭТИ напряженные состояния соответствуют вектору скоростей деформаций q. [c.18] Таким образом, виртуальная удельная мощность диссипации, определенная исходя из произвольного напряженного состояния Q, лежащего на пределе текучести или ниже его, и данной скорости деформации q, не может превысить мощность, определенную исходя из той же скорости деформаций и соответствующего напряженного состояния Q (принцип максимума локальной мощности диссипации). [c.18] Предшествующие рассуждения были посвящены локальным скоростям деформаций и напряжениям. Рассмотрим теперь поля скоростей ра(х), поля скоростей деформаций q(x) и поля напряжений Q(x). [c.18] Поле скоростей называется кинематически допустимым, если оно удовлетворяет кинематическим условиям непрерывности н ограничениям, наложенным на рассматриваемую конструкцию. Так, например, в случае жестко-идеально-пластических балок, на которые наложено ограничение в виде гипотезы Бернулли, скорость прогибов должна быть непрерывна и кусочно-непре-рывно дифференцируема кроме того, она должна исчезать на опорах, а ее первая производная — на защемленном конце. [c.18] Рассмотрим жестко-идеально-пластическую конструкцию, остающуюся жесткой при нагрузках Р . Определим коэффициент нагрузки к для пластического разрушения следующим образом пластическое течение становится возможным при нагрузке ЛЯц, но оно невозможно при нагрузках при К К. Фундаментальные теоремы теории предельного равновесия дают экстремальные характеристики для коэффициента нагрузки Х. [c.18] Кинематическая теорема устанавливается из противоречия между допущением, что Я Я, и следующим из (1.36) и (1.37) неравенством Я Я. [c.19] развитый в этом разделе, можно применить к трехслойным пластинкам и оболочкам, а также к трехслойным балкам. Для краткости в данной главе будут, однако, рассматриваться только трехслойные балки. [c.19] Так как не предполагается, что с. и с являются близкими проектами, это условие оптимальности носит глобальный характер. При отсутствии ограничений (2.1) и независимости hi от i условие оптимальности (2.14) принимает вид q . = onst, полученный Чжу и Прагером [2]. [c.22] Обозначим через С п С значения, получаемы из (2.20) при с, = j = или с, =С2 = с. Заметим, что ОС. [c.23] Так как р неотрицательно, из (2.22) следует, что % 1/2. Заметим, что (2.22) приводит к значениям р, меняющимся от О при А, = 1/2 до Vl/3 при Я, = 0. [c.23] В дальнейшем мы предполагаем, что заданное значение С удовлетворяет соотношению С С С, так как в противном случае задача не будет иметь решения. Тогда оптимальный проект находится следующим образом. [c.23] Величина j находится по формуле = рс,. Если С2 с, следует перейти к (3). [c.24] Мы видим, сколь сложной даже для простейшей конструкции является прямая , оптимизация, когда заданы верхняя и нижняя границы изгибной жесткости. [c.24] В предельном случае, когда заданная высота 2/г заполнителя и неизвестная толщина пластин i могут изменяться непрерывно, левую часть (2.34) следует заменить выражением h (х) [Цд] (ж) + Xlqlix)], где (х) и х) — кривизны оптимальной балки при обоих состояниях нагружения. [c.26] Если условие (2.43) удовлетворяется, оптимальный проект можно найти следующим образом. Так как заданное значение р = С 7С превышает р(0), мы будем определять р (0) с помощью (2.40) при возрастающих значениях р до тех пор, пока р ) С /С. Затем путем интерполящ1и найдем величину р, для которой р (Р) = С j . Далее, полагая в (2.39) у = 1 или Y = 2, мы определим значения оптимальных податливостей. [c.27] Численные примеры читатель найдет в работах [3—51. [c.27] Для простоты изложения в гл. 2 рассматривались только балки. Однако метод, при помощи которого были получены различные условия оптимальности, равным образом можно использовать и для других упругих конструкций, подчиненных ограничениям на податливость. Это замечание будет проиллюстрировано следующими примерами. [c.28] Вернуться к основной статье