ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Температурное поле стенки полого цилиндра из "Электрическое моделирование нестационарных процессов теплообмена " Аналогичным путем могут быть представлены также равенства (2-39), (2-105) и др. Шаги интегрирования в направлении соответствующих координатных осей обычно выбираются путем разбивки тела на элементарные слои. При этом выбор величины Дт остается окончательно не решенным. Увеличение ее численного значения может значительно сократить объем вычислительной работы, а потому чрезвычайно заманчиво. Однако если принять Дт чрезмерно большой величиной, то погрешность, вызываемая разложением в ряд Тейлора, когда тепловой поток за время Дт считается пропорциональным начальному по времени градиенту температуры, может стать значительной. Иначе говоря, при больших значениях Ах ошибка, вызываемая экстраполяцией, может резко возрасти, что немедленно отразится на точности вычислений последующих температурных полей. [c.106] Максимально допустимую в расчете величину At можно найти из следующих соображений [Л. 3]. При определенном нанесении пространственной сетки, т. е. при выбранных шагах интегрирования в направлении координатных осей г, р, 2 и при заданном значении термических параметров (а, X, с), коэффициенты At, Л2,. .., Ai зависят только от величины Ат. Среди температур, относящихся к данному моменту времени т и входящих в состав расчетной формулы (2-137), имеются наименьшая и наибольшая температуры. Для того, чтобы переход к последующему температурному полю не представлял собой сомнительную экстраполяцию, необходимо, чтобы искомая температура не оказалась ниже первой и выше второй. Иными словами, необходимо, чтобы температурные изменения, происходящие за время At, определялись бы температурными разностями, существующими в рассматриваемом участке, и лежали бы в тех же пределах. В случае произвольного температурного поля для этого достаточно, чтобы все коэффициенты Ai, входящие в уравнение (2-137), были бы положительны. [c.107] Кроме того, очевидно, должно выполняться условие. [c.107] В уравнении (2-142) все разности, стоящие в скобках, положительны. Отсюда следует, что величина Т не может быть больше Тп, т. е. наибольшей температуры, если все коэффициенты перед скобками положительны. Таким образом, правильный выбор шага интегрирования по времени Ат будет сделан в том случае, когда все коэффициенты Л,, входящие в уравнение (2-137), будут положительны. Из зависимостей (2-138), (2-139) следует, что коэффициенты Лг, Лз, Л4 и Аъ по характеру входящих в них величин могут иметь только положительное значение. [c.108] Таким образом, при расчетах тепловых процессов методом численного интегрирования с использованием явного метода расчета шаги интегрирования необходимо выбирать таким образом, чтобы они всегда удовлетворяли соотношениям типа (2-144), (2-145). [c.109] Численные методы решения, изложенные во второй главе, позволяют сравнительно просто определить нестационарное температурное поле, удельный тепловой поток в геометрически сложных элементах конструкции без ограничивающих задачу упрощений. Однако такие недостатки, как невозможность общего анализа полученного решения, большая вычислительная работа, в ряде случаев затрудняют использование этих методов в инженерной практике, особенно при проектировании тепловых машин и двигателей. Аналитические методы в отличие от численных позволяют производить общий анализ полученного интеграла, получить удобные и простые для инженерных расчетов решения. Поэтому наряду с численными следует широко применять и аналитические методы решения. Среди аналитических методов решения уравнения теплопроводности наибольшее распространение получили метод разделения переменных и операционный метод. [c.110] Метод разделения переменных. Метод состоит в том, что находится частное решение, удовлетворяющее уравнению теплопроводности и граничным условиям, а затем по принципу наложения составляется ряд этих решений, который и является общим решением, т. е. [c.110] Таким образом, общее решение уравнения теплопроводности имеет вид бесконечного ряда. [c.112] Теория операционного исчисления базируется на ряде свойств и теорем. Применительно к процессам теплопроводности они достаточно полно отражены в [Л. 38]. Поэтому в настоящей работе дано лишь некоторое применение операционного исчисления к решению практических задач. [c.112] Преимущество метода заключается в том, что решается не дифференциальное уравнение для оригинала, а алгебраическое уравнение для изображения. [c.113] При изучении теплового режима элементов конструкции сложной формы для упрощения решения выделяются отдельные элементы или участки, форма которых приближается к классической (цилиндр, пластина, шар). Такой подход позволяет упростить область существования функции. При этом процесс теплопереноса представляется уравнением теплопроводности в цилиндрической, прямоугольной или сферической системах координат. Наиболее простым решение получается в прямоугольной системе координат. [c.113] Решение уравнения теплопроводности для трехмерного поля в условиях нестационарного режима представляет большие трудности. Однако эти трудности в ряде случаев можно преодолеть, если использовать теорему о перемножении решений [Л. 19, 38, 64]. [c.113] В соответствии с этой теоремой пространственное температурное поле может быть определено перемножением одномерных температурных полей. Такой подход значительно облегчает нахождение решения, но не всегда возможен. Теорема применяется лишь для линейных задач с простыми условиями однозначности. [c.113] Сгорания симметричные граничные условия отсутствуют. Это вызвано тем, что одна из поверхностей цилиндра нагревается, а другая — охлаждается. Найдем нестационарное температурное поле в стенке полого цилиндра при несимметричных граничных условиях третьего рода, которые ближе всего соответствуют условиям работы элементов конструкции. [c.114] Учитывая T—W r, t) + V r, t), из последней системы уравнений приходим к исходной системе (3-12) — (3-15). [c.116] Для того чтобы найти общее решение, необходимо найти решение указанных двух задач и полученные результаты подставить в равенство (3-16). Решение будем искать операционным методом. [c.116] При переходе от уравнения в частных производных (3-17) для оригинала W r, х) к уравнению (3-26) для изображения w r, s) использовано начальное условие W r, 0)=0. Иными словами, при применении преобразования Лапласа к производной функции И7(г, т) по времени мы удовлетворили начальному условию (3-27). [c.117] Зависимость (3-44) является решением дифференциального уравнения теплопроводности (3-26), которое удовлетворяет краевым условиям (3-27) — (3-29). [c.122] Полученные аналитические зависимости позволяют определять как температуру поверхностей полого цилиндра, так и температурное поле стенки цилиндра. [c.125] Вернуться к основной статье