ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Применение функций Грива к решению уравнения теплопроводности из "Теория теплопроводности " решение для линейного потока в полуограниченном твердом теле а О, у которого плоскость z = 0 имеет температуру р( ) ДЛЯ О, можно получить, помещая непрерывно действующий дублет силы 2kf t) на плоскости х = 0 (см. 23). [c.175] Решение двумерной задачи, когда граница у = 0 находится при температуре /(ж, /), можно поЛ5 чить, поместив непрерывно действующий дублет с осью, параллельной оси у, и силой 2kj x, t)dx в точку ) х, 0) и интегрируя вдоль оси х. Соответствующий результат можно получить и для трехмерной задачи, когда плоскость ж = 0 находится при температуре f y, г, t) ). [c.175] Будем считать, что начальная температура в теле вызвана распределением таких источников вдоль положительной части оси х. [c.176] Покажем, что решения (1) и (2) тождественны. Это можно доказать, используя свойства тета-функций ) или с помощью следующей теоремы. [c.177] Таким образом, в точках 2па располагаем дублеты силы где кроме нудя, пробегает все положительные и отрицательные целые вначения. [c.178] Соответствующий результат можно получить для случая, когда граница х = 0 находится при нуле, а граница х = а при температуре ,( ) Складывая результаты, приходим к иному представлению решения задачи 34. [c.178] Решение задачи получится, если поместим в точках 2пк оди-яаковые источники, при атом п принимает все целые положительные и отрицательные значения. [c.178] Легко видеть, что это выражение удовлетворяет всем условиям задачи. [c.179] Диференцируем равенства (3) и (4) по i и используем уравнения (1) и (2). [c.179] Это соотношение имеет место для любого интеграла уравнений (1), (2), (3) и (4). [c.180] Выражение (8), очевидно, не является искомым решением, так как второй член выражения происходит от источника в точке — j/ -jf т. е. в той части твердого тела, где —оо а 0. Для тог( чтобы получить действительное решение, поместим сток в точке — у/ х а найдем для этого случая второе решение таким же способом, как выше. [c.180] Эти выражения удовлетворяют всем условиям задачи, за исключением численного множителя, который должен определяться силой источника, находящегося в точке х. [c.181] Решение Трехмерной задачи с точечным источником в точке (ж, у, z ) и распространение решения на более обш,ий случай любой начальной температуры не представляют трудностей. [c.183] Чтобы получить нулевую температуру по линии О А, мы помещаем сток единичной силы в точке Р , которая является изображением точки относительно ОА. Это значит, что угол AOP = — а. [c.183] Чтобы уравновесить сток, находящийся в точке P , по линии ОВ, помещаем источник в точку Pj, которая является изображением точки Р, относительно ОВ. [c.183] Это значит, что угол ЛО/, = а + 2у. [c.183] Чтобы уравновесить источник в точке Р по линии ОА, помещаем сток в точку Р , которая будет изображением точки Р относительно О А. Это значит, что угол АОР = s= — (а 4- 2f) И так продолжаем далее.. [c.183] Таким образом, эти источники и стоки вместе с источншадм Р дают нулевую температуру на плоскостях 6 = 0 и S= =t // . [c.183] Если такое решение будет найдено, то мы можем использовать его так же, как мы исрользовали обыкновенное выражение для температуры, вызываемой источником, и взять изображения в точках, указанных выше. [c.186] Вернуться к основной статье