ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Недостатки — это продолжение достоинств из "САПР, или как ЭВМ помогает конструктору " На первый взгляд, все вроде просто имеем систему линейных алгебраических уравнений, требуется получить ее рещение. Однако, как показывает практика инженерных расчетов, рещение системы уравнений равновесия и сопутствующие этому приемы хранения коэффициентов матрицы жесткости [А] представляют одну из основных трудностей при использовании метода конечных элементов в практике конструкторских бюро, так как ведут к огромным затратам ресурсов и времени ЭВМ. [c.55] Здесь принимается, что в каждом узле возможны две степени свободы и максимальная разница номеров узлов (индексов) достигается во втором или пятом конечном элементе. [c.56] Алгоритмы решения системы линейных уравнений не являются предметом исследования в методе конечных элементов, этому вопросу посвящена обширная специальная литература. Здесь мы хотим коснуться проблем хранения и решения систем уравнений в связи с тем, что этот этап решения задачи оказывает исключительное влияние на эффективность вычислений. Например, типичная двумерная задача приводит к матрице А=1000 с шириной ленты Я=100. Если проводить решение системы уравнений такого порядка методом Гаусса без учета симметрии и ленточности матрицы, а затем учесть эти факторы, то во втором случае для хранения матрицы требуется объем памяти в 10 раз меньший, чем в первом случае, и примерно в 100 раз меньше времени ЭВМ. [c.57] Системы уравнений, порождаемые методом конечных элементов, обладают достаточно хорошими свойствами — матрица системы симметрична, положительно определена и обычно хорошо обусловлена. Все это часто позволяет применять прямые методы без дополнительных проверок и усложнений. [c.58] Если всю информацию удается разместить в оперативной памяти ЭВМ, найти неизвестные несложно. В случае нехватки оперативной памяти наиболее очевидный и простой выход состоит в делении симметричной части ленты построчно на блоки и хранении этих блоков на внешних носителях (чаще всего на магнитных дисках). В процессе решения эти блоки по мере иадрбности считываются из внешней памяти в оперативную и обрабатываются. [c.58] Число строк в блоке М (см. рис. И) выбирают таким образом, чтобы в оперативной памяти размещались одновременно два блока. Если ширина ленты Н такова, что 1, то решение системы состоит в однократном считывании и обработке всех блоков. В противном случае каждый блок будет считываться из внешней памяти многократно. [c.58] В приведенном выше алгоритме предполагалось, что ширина ленты — величина постоянная. Это почти верно для регулярных топологических сеток конечных элементов. В практических расчетах часто используют такие сетки, при которых ширина ленты колеблется в широких пределах. В этом случае единственный выброс номера узла делает ширину ленты значительной, вследствие чего приходится хранить и перерабатывать большое количество нулевых коэффициентов. [c.58] В процессе сборки и исключения каждый конечный элемент обрабатывается по очереди в установленном порядке. Как только вызывается новый конечный элемент, элементы его матрицы жесткости суммируются в новых уравнениях, которые должны быть включены во фронт, если узлы активизируются первый раз, или должны быть просуммированы в прежних уравнениях, если узлы уже активные. Если узлы вызываются в последний раз, соответствующие уравнения могут быть исключены и деакти-рованы. При такой организации свободное место во фронте может быть использовано для сборки следующего конечного элемента. [c.60] Фронтальный метод является очень эффективным прямым методом решения больших систем уравнений, особенно при использовании изопараметрических конечных элементов. Его главным достоинством является то, что переменные вводятся на более поздней стадии, а исключаются на более ранней стадии, чем в других методах. Активное участие узла в процессе обработки длится с момента его первого появления в элементе до момента его последнего появления. [c.60] Это обеспечивает следующие преимущества. [c.61] Существуют и другие методы решения систем алгебраических уравнений, получаемых при использовании метода конечных элементов. Авторы выделили только те методы, с которыми они сами работали и которые уже достаточно апробированы в различных программных комплексах. [c.62] В заключение отмстим, что использование того или иного решателя обычно определяется наличием той или иной вычислительной техники, а также требованиями временных затрат, которые характеризуют имеющуюся в наличии систему САПР. [c.62] Вернуться к основной статье