ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Геометрическая совместность схем механизмов. , — Планарные графы из "Графы зубчатых механизмов " До сих пор нас интересовали либо количественные характеристики схем механизмов (моменты на звеньях, их скорости вращения, коэффициенты полезного действия), т. е. параметры схем, которые принимают числовые значения, либо структурные характеристики, примерами которых могут быть такие выражения, как данная муфта соединяет звенья с номерами ц и V , первый и второй дифференциалы имеют общие звенья а и р и т. п. При этом, когда говорилось, что, например, муфта Ф соединяет звенья ц, и v, отмечался лишь факт соединения этих звеньев данной муфтой, при этом вопрос о том, как это соединение осуществляется на самом деле в конструкции механизма, оставался в стороне. Может случиться так, что конструктивно такое соединение будет невыполнимо 1ш-за взаимного пересечения элементов механизма. Практика показывает, что более половины схем механизмов, удовлетворяющих техническим требованиям к количественным характеристикам, не могут быть реализованы по указанной причине. [c.174] Схема механизма называется геометрически совместной [24], если ее можно конструктивно реализовать без взаимного пересечения основных звеньев и элементов управления. В противном случае схема называется геометрически несовместной. [c.174] Поясним это понятие на примерах. [c.174] Тогда попробуем перенести муфту 3, 5) на место, указанное пунктиром (Ф(). Теперь пересечения нет. Однако возникла новая проблема — отсутствует доступ извне к выходному звену 6, которое оказалось окруженным другими звеньями и элементами управления, в результате чего съем мощности с выхода механизма стал невозможен. [c.175] Сделаем еще одну попытку с тем, чтобы освободить выходное звено. Например, можно получить схему, показанную на рис. 5.2, б. Здесь уже и входное и выходное звенья на первый взгляд имеют доступ извне. Однако, как видно из рисунка, к этой схеме оказывается нельзя добавить ее нижнюю половину — мешает тормоз Ti. Таким образом, и эта попытка не дала желаемого результата. [c.175] Все это имеет особое значение при синтезе механизмов, когда анализу на геометрическую совместность приходится подвергать тысячи, а то и десятки тысяч схем. Без формального математического описания процесса исследования возможности построения схем механизмов нельзя переложить эту достаточно скучную работу на ЭВМ. [c.176] В этом смысле мало помогает (хотя и значительно облегчает ручной анализ) переход к предложенным М. А. Крейнесом [12] и В. П. Черениным [33] символическим изображениям схем механизмов. И здесь остаются те же проблемы трудности математического описания процесса поиска символического изображения без пересечения звеньев и отсутствие критерия окончания этого поиска. [c.176] Оказывается, возникающие проблемы могут быть достаточно просто решены, если от принципиальных схем механизмов перейти к их изображениям в виде специальных графов размещения. При этом процесс исследования геометрической совместности схем заменяется анализом планарности графов [24, 23], отображающих только те свойства схем, которые являются существенными для размещения механизма в пространстве. Если при анализе графов окажется, что они планарны, то делается вывод о геометрической совместности соответствующей схемы. В противном случае, механизм не может быть размещен в пространстве без пересечения звеньев. [c.176] Анализ геометрической совместности схемы в общем случае не требует построения самой схемы механизма. В конечном счете, на вопрос, возможно ли размещение данного механизма в пространстве, достаточно получить ответ в виде да или нет. Однако после того, как исследователь убедится, что схема совместна, возникает задача ее построения, являющегося в некотором смысле наилучшим. Результатом решения такой задачи должен быть рисунок или чертеж схемы механизма. [c.177] Понятие наилучшего построения схемы, очевидно, должно включать в себя такие конструктивные характеристики механизма как число перегородок, легко-доступность к элементам управления, наслоение валов и т. п. Конструктор в каждом конкретном случае может найти некоторое рациональное решение. Однако при использовании ЭВМ всем этим характеристикам и критерию наилучшего построения необходимо придать количественный смысл и найти соответствующие числовые оценки, на основании которых должен происходить отбор допустимых размещений. Сделать это достаточно корректно не всегда удается, да и вряд ли необходимо. Видимо, гораздо большего успеха можно добиться на пути создания диалогового режима поиска рациональных построений [20]. [c.177] Для построения всех возможных размещений схемы на плоскости [12] и получения рисунка удобно использовать различные модификации волновых алгоритмов Ли, получивших широкое применение при трассировке печатных электронных плат. [c.177] Граф Ti G), изображенный на рис. 5.3, а. Топологический граф Т ф) не является плоским, так как ребра (а, S) и (р. А,) на рис. 5.3,6 пересекаются. [c.178] Простейшими. непланарными являются так называемые типовые графы Понтрягина — Куратовского Ks = (a, р), (а, Y), (а, б), (а, Я), (р, у), (Р, б), (р. К), (у. Ь), (у, Л), (6, Х)У. Л з,з = (а, 6), ( , Я), (а, г), (р, б) (Р, Л), (Р, е), (у, б), (у, X), (у, е) , изображенные на рис. 5.4. Легко показать [4, 31], что эти графы не имеют плоских топологических представлений, т. е. являются непланарными. Они замечательны тем, что с их помощью можно полностью охарактеризовать множество всех возможных непланарных графов. [c.178] Граф Gp, полученный из Gq (р q) с помощью ряда последовательных преобразований й, называется ироизводным. [c.179] Теорема 5.1. Необходимое и достаточное условие того, чтобы граф Gq был планарным, состоит в том, что он не должен содержать типовых производных графов Къ и /Сз, з. т. е. графы Кь и Кг, 3 не могут быть получены из Gq с помощью преобразований Q. [c.179] После выполнения этой процедуры будут получены все производные графы множества Gr-i . [c.180] Такой подход легко можно реализовать вручную путем непосредственного исследования изображения графа, если число вершин в нем невелико. Проиллюстрируем его примером. [c.180] Вернуться к основной статье