ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приближенные методы решения задач из "Механика гибких стержней и нитей " Среди приближенных методов наибольшее распространениё получили методы, использующие вариационные принципы, и. методы возмущений (асимптотических разложений) по большим или малым значениям параметра или координаты. Полученные в предыдущих параграфах уравнения равновесия стержней и нитей, как правило, являются нелинейными и в общем случае не могут быть решены в аналитической форме за исключением частных случаев. При решении уравнений равновесия обычно используют или численные методы, или приближенные, использующие вариационные принципы механики. При численных методах решения задач усложняются тем, что все задачи механики стержней относятся к двухточечным краевым задачам. [c.47] Рассмотрим задачу о нагруженной балке, лежащей на упругом основании [уравнение (2.9) ]. Для численного решения этой системы уравнений необходимо знать v (0), однако компонент вектора V (0) неизвестен. [c.47] Поэтому при численном счете задаются неизвестными компонентами Vi (0), каждый раз решая систему уравнений, пока не найдут значения и,- (0), при которых вектор v (1) удовлетворяет краевым условиям на правом конце. Несмотря на кажущуюся сложность этих методов, их решение на ЭВМ довольно эффективно. Для сокращения времени счета используют методы целенаправленного поиска начальных значений Vi (0), дающих решение задачи. Если используют уравнения в безразмерной форме, то полученное решение [охватывает целый класс родственных задач. [c.47] Следует подчеркнуть, что классическое решение дифференциальных уравнений равновесия стержня или. нити (представление решения в квадратурах), как правило, практически мало полезно, так как все равно получение числовых результатов требует применения численных методов для выражений анализа решений. Это может быть гораздо сложнее, чем численное решение исходных уравнений. [c.47] Уравнения равновесия стержней и нитей можно получить из общих вариационных принципов механики, поэтому их можно использовать и для приближенных методов расчета. Прежде чем изложить методы приближенных решений, напомним положения вариационного исчисления и основные вариационные принципы, используемые в механике стержней и нитей. [c.47] Если функция Е не зависит от х, уравнение Эйлера имеет пер-вый интеграл. В этом случае из (2.71) получим . [c.49] Ограничения, которым должна удовлетворять функция (2.80), могут от производных функций и не зависеть. [c.50] Уравнение (2.93) и условие (2.88) дают возможность определить функцию у и неизвестный множитель Лагранжа %. [c.52] Рассмотрим следующий пример. Нить заданной длины, которая находится Б равновесии в поле тяжести, показана на рис. 2.15. Форма, которую нить имеет в состоянии равновесия (по сравнению с другими возможными формами, показанными пунктирными линиями), должна удовлетворять экстремальному условию координата 0 (центр тяжести) для истинной формы равновесия имеет наименьшее значение (что эквивалентно условию минимума потенциальной энергии нити). [c.52] Из уравнения (2.103) следует, что нить в поле тяжести в состоянии равновесия имеет форму, которая описывается цепной линией. [c.53] Уравнение (2.110) зависит только от С . Определив С , находим из (2.107) или (2.108) j, а из (2.104) или (2.105) X. [c.54] Следовательно, из принципа возможных перемещений следует, что необходимые и достаточные условия равновесия системы с идеальными связями под действием консервативных сил совпадают с необходимым (но недостаточным) условием экстремума потенциальной энергии. Принцип возможных перемещений может быть использован при решении задач статики наряду с более привычными уравнениями статики. [c.54] Для применения принципа возможных перемещений при решении задач механики стержней необходимо обобщить этот принцип так, чтобы его можно было распространить на упругие системы. Для упругих систем (или в более общем случае для деформируемых систем, например стержней) необходимо принимать во внимание не только работу внешних сил, но и работу внутренних сил (результирующих напряжений), вызванных возможными отклонениями упругой системы от состояния равновесия. Остановимся более подробно на понятии возможного перемещения для стержней. Возможным (или виртуальным) перемещением называется всякое малое перемещение точек осевой линии стержня из исходного состояния без нарушения связей, наложенных на стержень. Например для стержня, показанного на рис. 2.16, любая функция Ьу (г), мало отличающаяся от функции у (г) и удовлетворяющая ее краевым условиям, может рассматриваться как возможные перемещения для точек осевой линии стержня. Любое возможное перемещение Ьу (г) стержня является непрерывной функцией. [c.55] Работа ЬА есть работа внешних (обобщенных) сил, приложенных к конструкции, на возможных обобщенных перемещениях точек приложения этих сил (вызванных возможными деформациями конструкции). [c.56] На возможных перемещениях внешние силы сохраняют свое значение, поэтому работа каждой из обобщенных сил равна произведению силы, на обобщенное возможное перемещение, т. е. [c.56] Получим выражение для возможной работы сил, приложенных к стержню, лежащему на упругом основании (слое) (рис. 2.18, а). На рис. 2.18, б показаны возможные перемещения балки — Ьу (г). [c.56] Свободные слагаемые в силу краевых условий равны нулю. [c.57] Полученное выражение (2.122) есть уравнение равновесия стержня для случая, показанного на рис. 2.18, а. [c.57] Вернуться к основной статье