ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Укороченная форма критерия устойчивости Рауса—Гурвица из "Проектирование и расчет динамических систем " Остановимся на выборе укороченной формы критерия устойчивости Рауса—Гурвица. [c.23] Вначале будем использовать дополнительные необходимые условия устойчивости (1.27). [c.23] В материалах гл. П показано, что при записи характеристического уравнения в форме (1.31) не теряется общность исследования. [c.23] Область, ограниченная неравенствами (1.33), будет находиться внутри области устойчивости при = 0,5 (рис. 1.1, штрих-пунктирная линия). Эту область, как и другие аналогичные ей, будем называть укороченными областями устойчивости. [c.24] Неравенства (1.35) назовем укороченной формой критерия устойчивости Рауса—Гурвица. Неравенства имеют смысл при положительных значениях коэффициентов. [c.25] Необходимо найти значения 7,-, где i = - п, при которых условия (1.35) выполняются только для устойчивых динамических систем. [c.25] 1 укороченные области устойчивости становятся шире областей устойчивости уже для систем третьего и четвертого порядков. [c.25] Когда последнее выражение (1.37) равно нулю, система выходит на границу устойчивости. Если задать = 1, то согласно (1.36) для границы укороченной области устойчивости — а йз = 0. Тогда последнее выражение (1.37) становится меньше нуля, а укороченная область устойчивости выходит за пределы области устойчивости. [c.26] Значит, отыскание значений q , при которых система сохраняет устойчивость, должно производиться в диапазоне чисел О 9,. 1. При этом нужно отыскать максимальные значения коэффициентов = 7 шах. [c.26] Нахождение ах проводилось следующим образом. [c.26] Задавались значения 7 1 и рассчитывались коэффициенты характеристического уравнения по формуле (1.36). Затем полученное характеристическое уравнение проверялось на устойчивость по критерию устойчивости Рауса. При получении неустойчивости значения qi снижались. Шаг изменения 9, был выбран равным 0,05. [c.26] Несмотря на выбор узкого диапазона изменения значений и сравнительно большую величину шага изменения Qi, число расчетных точек для уравнений высокого порядка велико. Для сокращения объема вычислений было проделано следующее. [c.26] По уравнениям (1.39) при различных значениях А о строились приближенные области устойчивости в плоскости координат А и Л 5. В этих же координатах строились точные области устойчивости. В качестве примера на рис. 1.2 приведена область устойчивости (граница устойчивости — сплошная линия) и укороченная область устойчивости (ее граница — штриховая линия). [c.26] Для = 0,75 построена зависимость запаса устойчивости т от значений коэффициента Ад (рис. 1.3). Оказалось, что наименьший запас устойчивости имеет система А о = 0,1. С ростом и понижением значения коэффициента 0 запас устойчивости повышает-ся. Аналогичная картина наблюдается и для уравнений более высоких порядков. [c.27] При анализе была замечена следующая тенденция. Запасы устойчивости системы увеличиваются с уменьшением значений q . [c.27] Оба вывода позволили значительно сократить число вычислений, которые проводились в местах, соответствующих минимальным запасам устойчивости. [c.27] Вычисления показали, что наибольшие значения при которых система устойчива, составляют = 0,75. [c.27] Таким образом, динамическая система устойчива, если при положительных значениях коэффициентов характеристического уравнения выполняются неравенства (1.35), где 7,- = 0,75. [c.27] Из всех I, полученных для одного характеристического уравнения, выбиралось наименьшее значение, так как оно соответствует процессу с наибольшей колебательностью и в конечном счете определяет близость системы к границе устойчивости. [c.27] Характеристические уравнения при других величинах А а имеют также участки максимальных значений параметра затухания. Поэтому следует отыскать максимальные значения для характеристических уравнений при различных значениях коэффициента Aq. [c.29] Вернуться к основной статье