ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Построение пересечения, объединения, разности многосвязных областей и усеченной эквидистанты контура из "Элементы теории автоматизации машиностроительного проектирования с помощью вычислительной техники " Плоские области являются точечными множествами, поэтому над ними можно реализовать теоретико-множественные операции пересечения, объединения, разности и др. Результатом операций будет новая одно- или многосвязная область, вырождающаяся в частном случае в плоскую кривую или точку (рис. 75). Условимся в дальнейшем задачи, в которых реализуются теоретико-мпожест-венные операции, называть теоретико-множественными. К теоретико-множественным сводятся многие задачи, возникающие при разработке методов автоматизированного конструирования деталей и узлов машин. [c.241] Разность областей Л =Л В определяет часть детали А, остающуюся после устранения пересечения. [c.241] На рис. 76 приведен пример использования операции объединения областей при проектировании нижней плиты разделительного штампа. Провальное окно в плите является объединением областей, ограниченных эквидистантами контуров рабочих окон на матрице штампа. [c.241] Объекты, над которыми выполняются операции пересечения, объединения и отрицания, будем называть исходными геометрическими. К ним отнесем любые плоские замкнутые одно-и многосвязные области, ограниченные замкнутыми ориентированными кривыми, т. е. циклами. Количество циклов, ограничивающих области, не регламентируется. [c.241] А совпадают с границами А, но имеют противоположную ориентацию. Тогда В А = В f]A. [c.242] Точки пересечения и стыка будем называть характерным точками. Граничные кривые, заключенные между двумя соседними характерным точками, в дальнейшем будем кратко называть дугами. [c.242] Исключив из рассмотрения изолированные точки, а также случаи, когда исходные области совпадают или пересекаются, докажем справедливость следующих теорем. [c.242] Докажем справедливость всех четырех условий. [c.243] Теорема 5. Множество М граничных точек объединения замкнутых областей Л и S имеет нетривиальное разбиение, классами которого являются связные подмножества А s В граничных точек А и ВР А граничных точек В. [c.243] Из теорем выведены основные правила построения границ многосвязной области, полученной в результате пересечения или объединения двух исходных многосвязных областей. [c.243] Правило первого шага. Процесс построения каждого цикла, ограничивающего результирующую область, начинаем в любой характерной точке, которую обозначим Р, в Pj входят и из нее выходят две дуги. Входящие дуги обозначим АР и ВР. Одна из них принадлежит границе результирующей области. Укажем признак распознавания искомой дуги. [c.243] Правило переключения. В процессе построения результирующего цикла дуги ЛГ и Sf строго чередуются. Переход с ЛГ па ВУ с на и так далее происходит в характерных точках. [c.244] Построение цикла завершается при повторном приходе в характерную точку, из которой сделан 1-й шаг. Затем из любой характерной точки начинаем построение следующего результирующего цикла. [c.244] Перечисленные правила обеспечивают правильность описания и в случае получения алгебраической кривой как результата операции. Но в практических приложениях представляют интерес только области. [c.244] Остановимся на основных моментах реализации алгоритма. Возьмем класс наиболее распространенных геометрических объектов — многосвязные области, которые ограничены циклами, составленными из дуг окружностей и отрезков прямых линий. Информация о границах исходных и результирующих объектов записывается в форме ТКС-2. [c.245] Для вычисления координат точек пересечения, стыка илк касания грациц должны быть использованы уже упоминавшиеся в блок-схемах процедуры — пересечение дуги с дугой, отрезка с дугой, отрезка с отрезком. Информация о постоянных характерных точках записывается в массив XT (характерные точки), форма которого приведена в табл. 39. Каждый столбец массива XT содержит координаты характерной точки и индекса по ТКС-2 всех элементов (дуг, отрезков), которым она принадлежит. Если таким элементом является отрезок касательной, соединяющей /-ю и (/- -1)-ю дуги, то в соответствующей строке записывается (-/). Порядок записи индексов в столбце может быть различным. [c.245] В табл. 40 приведен пример заполнения массива XT, соответствующий теоретико-множественной задаче, изображенной на рис. 75. [c.245] Точность изложенного метода лимитируется только точностью вычислительных методов, положенных в основу перечисленных процедур. [c.246] Построение усеченной эквидистанты. При постановке нэ ЭЦВМ технологических и конструкторских задач часто возникает необходимость распознавать и строить области, ограниченные частями эквидистанты заданного контура L. Типичным примером может служить автоматическое проектирование технологического процесса фрезерования контура детали. [c.246] Если деталь имеет узкие глубокие впадины , по которым не может пройти фреза, траектория центра последней будет представлять собой несколько отдельных контуров (рис. 77). Каждый контур является частью эквидистанты наружного контура детали (с учетом остающегося припуска), построенной на расстоянии, равном половине диаметра фрезы. [c.246] Вернуться к основной статье