ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Методы решения интегральных уравнений теплообмена излучением из "Основы радиационного и сложного теплообмена " Рассмотренные выше системы интегральных уравнений, описывающие процесс радиационного теплообмена, отличаются существенной сложностью. Заметное упрощение может быть достигнуто при выполнении ряда условий относительно радиационных характеристик среды и граничной поверхности. [допущение идеально диффузного отражения и излучения стенок, изотропного рассеяния в ереде. неселективного (серого) излучения среды и стенок, постоянства радиационных свойств среды]. В математическом отношении эти уравнения теплообмена излучением сводятся к линейным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, тео рия и методы решения которых изложены в [Л. 110— 118]. Они дают однозначное решение при задании в каждой точке объема и граничной поверхности Т1ЛОТНОСТИ какого-либо вида излучения. [c.209] Однако специфика рассмотренных интегральных уравнений радиационного теплообмена для общего случая заключается в том, что их ядра я ряд параметров заранее не известны и могут быть найдены лишь приближенно. В то же время В классической теории интегральных уравнений Л. 110—116] их ядра и параметры должны быть заданными функциями. Из математики известен целый ряд методов решения интегральных уравнений, которые используются при исследовании процессов радиационного теплообмена. Все эти методы являются приближенными. Они делятся на аналитические и численные, причем, как правило, аналитические приближенные методы являются достаточно эффективным средством лишь для наиболее простых одномерных задач теплообмена излучением. [c.209] Рассмотрим основные методы решения интегральных уравнений теплообмена излучением. [c.209] Составим интегральные уравнения радиационного теплообмена для плоского слоя ослабляющей среды, ограниченного поверхностями / и 2 (рис. 7-2), предполагая рассеяние среды изотропным, а излучение и отражение граничны.х поверхностей — идеально диффузным. Задача предполагается одномерной, а температуры первой и второй поверхностей слоя и их радиационные характеристики постоянны для каждой из поверхностей. [c.210] Для данной постановки задачи составим систему интегральных уравнений спектрального излучения для эффективного и результирующего излучения. [c.210] Уравнения (7-48) —(7-50) могут быть преобразованы относительно других видов излучения, как это уже делалось ранее в общем случае. Если среда и стенки кроме сделанных допущений являются к тому же серыми, то интегральные уравнения для полного излучения будут иметь такой же вид, как и (7-48) — (7-50). [c.211] Естественно, что уравнения (7-52) и (7-53) с ядрами (7-54) и (7-55) являются значительно более простыми, вследствие чего их решение уже не встречает прежних затруднений. Аналогичные упрощения в случае оптически тонкой среды имеют место и для интегральных уравнений полного излучения. Описанное упрощение интегральных уравнений и сведение их к виду (7-52) и (7-53) в рассмотренном случае называется приближением оптически тонкой среды [Л. 107] и ори малых оптических толщинах используется о расчетах радиационного теплообмена [Л. 104, 106, 107, 374]. [c.212] Таким образом, система интегральных уравнений с помощью данного метода разложения искомой функции заменяется диффе ренциальным уравнением бесконечного порядка (7-60) с граничными условиями (7-61) и (7-62) на первой и второй стенках слоя. Ограничиваясь несколькими членами разложения, получаем дифференциальное уравнение соответствующего порядка, аппроксимирующее систему интегральных уравнений. Если порядок дифференциального уравнения принимается больше двух, то граничных условий оказывается уже недостаточно для того, чтобы определить все постоянные интегрирования. Поэтому приходится искусственно добавлять граничные условия к дифференциальному уравнению, вводя те или иные дояу-щения. [c.214] Подобный метод экспоненциальной аппроксимацпи ядра и сведения интегрального уравнения к дифференциальному использовался при решении ряда задач радиационного и сложного теплообмена [Л. 348, 367, 370]. [c.215] Ряд (7-68) для определения резольвенты при выполнении ои(ре-деленных условий является сходящимся. Несомненным достоинством метода итераций является общность представления решения в виде (7-67). При этом все трудностя решения сводятся к отысканию резольвенты Т°(М, Р), после чего решение получается простым интегрированием (7-67) для любого произвольного задания известной по условию функции Е°сой(Р) по области F°. Однако существенным неудобством метода итераций является необходимость последовательного вычисления квадратур К°т(М, Р) в (7-68) для нахождения резольвенты. Обычно эти квадратуры точно не определяются, в связи с чем приходится прибегать к численному интегрированию. [c.216] Решение интегральных уравнений (7-71), содержащих вырожденные ядра типа (7-72), осуществляется без особых затруднений. [c.216] В связи с относительной легкостью решения интегральных уравнений с вырожденными ядрами возникла идея аппроксимации произвольного ядра вырожденным с последующим решением такого аппроксимированного уравнения описанным способом. В качестве подобной аппроксимации можно использовать разложения ядра К(х, g) в ряды Тейлора и Фурье с ограничением на определенном члене ряда. Возникающая при такой аппроксимации ошибка анализируется в [Л. 117]. [c.217] В методе коллокации Л. 118], использованном в [Л. 344], минимизация невязки осуществляется из условия равенсгва невязки нулю в заданных точках отрезка [АВ, называемых точками коллокации. Число этих точек выбирается равным числу неизвестных заранее неопределенных коэффициентов сг. Путем решения получающейся системы линейных алгебраических уравнений находят все искомые коэффициенты. [c.217] Выполняя операции (7-82) с функционалом (7-81), нетрудно получить систему уравнений, эквивалентную системе (7-80), получаемой с помощью метода моментов. Это позволяет считать рассмотренный вариационный принцип Ритца частным случаем метода моментов [Л. 117]. Попытка обобщения вариационного метода на пространственные излучающие системы была предпринята в [Л. 123]. [c.218] Оценка погрешности метода алгебраической аппроксимации приводится в [Л. 117]. В принципе точность этого метода возрастает с увеличением числа узловых точек, однако одновременно с этим прогрессивно усложняется и разрешающая система алгебраических уравнений (7-83) за счет увеличения числа уравнений. Метод алгебраической аппроксимации также широко используется при исследовании радиационного теплообмена на основе интегральных уравнений при различных постановках задачи [Л. 124—128, 3.54, 35.5]. [c.219] Вернуться к основной статье