ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Зейтман, Л. А. Таран, Применение метода малого параметра для исследования колебаний неконсервативных упругих гироскопических систем из "Колебания и балансировка роторных систем " Значение упругих гироскопических систем с распределенными и сосредоточенными массами в современном машиностроении продолжает возрастать. Изучение их динамики во многих случаях приводит к рассмотрению систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных с квазилинейными краевыми условиями [1]. Б реальных объектах среди действующих сил всегда присутствуют также и диссипативные силы. Однако в большинстве случаев при исследовании колебаний упругих систем силы демпфирования учитывают только в зонах резонанса. Вне этих зон ими обычно пренебрегают. Исключение составляют враш ающиеся системы, где внутреннее трение может служить причиной потери устойчивости в закритической области [2] и привести к возбуждению автоколебаний 3]. [c.5] Поперечным колебаниям систем с распределенной массой нри наличии сил внутреннего и внешнего трения посвящены работы [4, 5]. В первой из них рассматривается невращающийся стержень постоянного сечения с распределенной по длине массой. Более общие результаты для упругих гироскопических систем получены в Г5]. Однако использование в методе начальных парад1етров функций А. Н. Крылова с комплексными аргументами приводит к громоздким выкладкам и весьма значительным затруднениям вычислительного характера. [c.6] В настоящей работе рассматриваются свободные и вынужденные колебания упругой гироскопической системы с распределенными и сосредоточенными массами. Члены, соответствующие силам внешнего и внутреннего трения, считаются малыми они отнесены к правым частям и входят под знак малого параметра а. Таким образом, формально линейные дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие колебания исследуемой системы, и краевые условия приобретают вид квазилинейных. Рассматриваемая краевая задача решается методом малого параметра, обобщенным на системы с распределенными и сосредоточенными параметрами [1].. [c.6] В [6] показано, что исследование колебаний сложных упругих систем, в том числе и гироскопических, в линейной трактовке наиболее эффективно осуществляется обобщенным методом динамических податливостей и начальных параметров. Здесь этот метод распространяется на неконсервативные системы, в которых силы демпфирования предполагаются малыми. [c.6] Одновременно с рассмотрением собственных колебаний решается вопрос об устойчивости относительного равновесия упругой гироскопической системы под воздействием внутреннего и внешнего трений. [c.6] Здесь Wj x, t) = Uj x, t) + ivj x, t) — комплексный прогиб ротора на/-м участке EI тир— постоянные на каждом участке жесткость на изгиб и масса единицы длины i, с — линейная и угловая жесткость опор. Функции fj,gj,Pj,Fj,Gj,Pj непрерывны и периодичны по времени t кроме того, предполагается, что они могут быть нелинейными функциями, но аналитическими относительно X, малого параметра fi, функций Wj и их частных производных Wj по t я X необязательно первого порядка. [c.7] Подстановка (3) и (4) в уравнения (1) и (2) обращает рассматриваемую задачу в последовательность из к краевых задач, соответствующих приближениям к-то порядка. [c.8] Выпишем первые два приближения и покажем практическую реализацию предлагаемой процедуры для нахождения искомых величин. [c.8] Обозначим одну из них через Тогда из (10) и (И), соответствующая Яоз упругая линия с точностью до постоянного множителя будет Wjo (а ) = V [к,х) — (яп/яха) У (Кх). [c.9] Используя первое из них и учитывая (19), легко показать, что = О, а из второго без труда определяется величина а . Аналогично с помощью такой же процедуры из уравнений второго приближения можно найти и т. д. Поскольку процесс сходится довольно быстро, для получения вполне надежного результата обычно бывает достаточно не более второго приближения. [c.11] Рассмотрим одну из таких сложных подсистем и определим для нее динамические податливости. Для простоты будем считать ее сечение постоянным. [c.11] Выведем рекуррентные соотношения для определения произвольных постоянных различных приближений (/ + 1)-го участка по известным произвольным постоянным /-Г0. [c.12] формулы (27) позволяют определить произвольные постоянные А -го приближения участка / + 1 по известным произвольным постоянным /-Г0 участка, что и дает искомые рекуррентные зависимости. [c.13] Использование граничных условий на правом конце ротора и формул (28) позволяет определить динамическую податливость рассматриваемой подсистемы. Пусть для определенности требуется найти моментную динамическую податливость на правом конце, считая, что исходная система рассечена на подсистемы на границе участков 7 и / -(- 1. [c.14] Далее из граничных условий первого приближения типа (15) записываются системы уравнений вида (17), (18). Из этих уравнений можно получить, что = О, а также значения ji (а ) и Dji (ai) как функции поправки ai, т. е. выражение для W(х). [c.14] Отделив вещественную и мнимую части в (31), получим два уравнения для определения Xq и Используя второе приближение, можно определить поправки 2 и aj к комплексной собственной частоте связанной системы и т. д. [c.15] Описанным способом можно вычислить собственные частоты гироскопических систем с трением сколь угодно сложной структуры. При этом все функции сохраняют вещественные аргументы, а единообразие вычислительной процедуры упрощает построение алгоритмов для расчетов на ЭЦВМ. [c.15] Исследование вынужденных колебаний выполняется фактически с помощью той же последовательности операций, которая описана для собственных. Остановимся на практически важном частном случае, когда возмущающей силой будет распределенная и сосредоточенная статическая неуравновешенность. [c.15] Таким образом, как видно из (33), (34), для порождающей кон- ервативной системы имеем известную краевую задачу вынужденных колебаний [5]. [c.15] Вернуться к основной статье