ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения теории упругости неоднородных тел из "Расчет элементов конструкций из упругих неоднородных материалов " Более строгие и точные результаты при исследовании напряженно-деформированного состояния упруго-неоднородных тел можно получить с помощью теории упругости. Несмотря на трудности чисто математического порядка, использование аппарата теории упругости позволяет дать решение целого ряда практически важных задач, не поддающихся решению методами сопротивления материалов. Кроме того, анализ этих решений дает возможность установить точность различных приближенных способов расчета, в том числе и основанных на гипотезе плоских сечений. [c.32] Задача теории упругости неоднородного тела формулируется и решается аналогично задаче теории упругости однородного изотропного или анизотропного тела. Различие между ними состоит лишь в том, что в физических уравнениях (законе упругости) механические характеристики являются заданными непрерывными функциями координат. Здесь необходимо еще раз подчеркнуть, что при этом деформации тела считаются малыми и предполагается выполнение обобщенного закона Гука. Очевидно, что в случае неоднородного тела остаются справедливыми общие уравнения механики сплошной среды соотношения Коши между деформациями и перемещениями и т. д. Подробное изложение теории напряжений и деформаций приводится в многочисленных книгах [11, 100, 138 и др.], поэтому ниже они даются без вывода в прямоугольной системе координат х, у, z) в объеме, необходимом для дальнейшего изложения. Эти же уравнения в других системах координат (цилиндрической, сферической) можно найти в указанных выше и других изданиях. [c.32] Обозначения для напряжений, деформаций и перемещений общепринятые. [c.32] Еще раз обратим внимание читателя, что в (4.4) Е, v, G. а считаются заданными функциями координат Ссм. 3). [c.33] Конкретную форму выражения (4.5) для различных случаев анизотропии можно найти в [7, 11, 72 и др.]. [c.34] Три уравнения (4.1), шесть уравнений (4.2) или (4.3) и шесть уравнений (4.4) или (4.5) образуют замкнутую систему из 15 уравнений с 15 неизвестными функциями (шесть компонент тензора напряжений, шесть компонент тензора деформаций и три компонента вектора перемещения), к которой должны быть присоединены граничные условия в напряжениях или перемещениях. [c.34] Решение задач теории упругости неоднородного тела, как и в классическом случае, можно искать либо в напряжениях, либо в перемещениях. Очевидно, что подстановкой (4.4) в уравнения совместности (4.3) можно получить обобщенные уравнения Бельтрами—Мичела [196, 202, 203], а подстановкой (4.2) в (4.1)—обобщенные уравнения Ламе. [c.34] Эти уравнения можно представить также и в векторной форме [5, 96, 153, 196, 197 и др.]. [c.35] Как и в случае однородных тел, уравнения (4.6) существенно упрощаются при наличии осевой симметрии в отношении не только напряженного состояния, но и механических свойств. При этом целесообразно переходить к цилиндрическим или сферическим координатам [131, 135, 136, 137, 153, 159, 188, 194, 196, 219 и др.]. Более простой вид имеют уравнения (4.6) для несжимаемого тела [177,178,196]. [c.35] Уравнения теории упругости анизотропного неоднородного тела в наиболее общем виде получены в работе [228]. Они оказываются весьма сложными. [c.35] М —— N=— — e=l+v — при плоской деформации. [c.35] Это уравнение получено независимо друг от друга различными авторами [19, 34, 166 и др.]. [c.37] Функция напряжений широко используется также в задачах кручения и изгиба (см. гл. III). [c.37] Известно, что в математической теории упругости большое внимание уделяется вопросам существования и единственности решения [67, 100], весьма сложным с математической точки зрения. Вместе с тем в случае неоднородного тела необходимость их решения не менее, а, по-видимому, более важна, чем в классической теории упругости, ввиду возможности возникновения особенностей, связанных с характером исходных уравнений. Достаточно в качестве примера указать на задачу Бусси-неска для неоднородного полупространства, когда обобщенная система уравнений Ламе на границе области вырождается из эллиптической в параболическую [142]. [c.38] Имеющиеся доказательства существования и единственности решения посвящены, как правило, конкретным задачам. Так, А. Раду [210] доказано существование и единственность решения задачи об изгибе и кручении неоднородного бруса. [c.38] Одно из важнейших применений доказательств существования решения состоит в том, что с их помощью можно найти численные методы решения краевых задач [67], так как по существу в них содержится указание на алгоритм построения решения. Однако этот алгоритм в общем случае содержит бесконечное множество операций и практически.трудно реализуем. Путем замены исходной задачи другой, содержащей уже конечное число операций, в принципе можно получить приближенное решение, точность которого повышается с увеличением числа операций. Примеры такого подхода можно найти в [67]. [c.38] Вернуться к основной статье