ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Расчет- критической скорости крутильных колебаний вала с несколькими дисками из "Динамика машин " Для того чтобы упростить решение данного вопроса, рассмотрим простой пример. На прямом призматическом невесомом стержне укреплена по середине его длины сосредоточенная масса т. Явление затухания в расчет не принимаем. [c.69] На этом весьма простом положении построены некоторые методы определения собственной частоты поперечных колебаний стержня. Оказывается, что для определения низших частот собственных колебаний в некоторых случаях достаточно приближенно определить форму колебаний, причем кривая прогибов должна удовлетворять хотя бы наиболее важным граничным условиям. Эти условия бывают двух видов геометрические и динамические. Геометрические условия отражают способы закрепления концов стержня (шарнирное опирание, защемление и т. п.), динамические условия учитывают силы и моменты, которые действуют на концах во время колебаний. Наибольшее значение имеют геометрические условия. [c.70] Уравнение (2.79) совпадает с уравнением (2.63), если пренебречь при этом влиянием гироскопического эффекта в процессе вращения. [c.71] Погрешность получилась довольно значительной. Она прежде всего возникла от того, что предполагаемая форма колебаний балки не удовлетворяет на свободном конце условию у 1)=0. [c.72] Приведенный пример показывает, что желательно иметь возможность уточнения результатов при решении приближенным методом. [c.72] Этих условий столько, сколько имеется неизвестных параметров flj. Исключая параметры а,-, мы получим выражение для определения неизвестной собственной частоты ы. В тех случаях, когда уравнение (2.82) относительно неизвестных а,- будет линейным и однородным (правая часть равна нулю), собственная частота со определяется из условия, что определитель из коэффициентов при неизвестных А должен быть равен нулю (условие ненулевого решения и линейной зависимости полученных уравнений). [c.73] В уравнениях (2.82) F — площадь поперечного сечения балки, Е/ — жесткость изгиба, у — удельный вес, а g — ускорение силы тяжести. [c.73] Для балки ступенчатого сечения интегрирование необходимо провести по участкам, имеющим постоянное сечение. [c.74] Результат совпадает с формулой (2.83). [c.76] Общим неудобством рассмотренных методов является то, что они основываются на второй производной функции прогибов у и в результате могут давать большие отклонения вычисленной частоты 03 от действительной. [c.76] Согласно Релею, дополнительные члены оказывают влияние прежде всего на колебания при высоких собственных частотах. При низких частотах применение их нецелесообразно и ими можно пренебречь. [c.78] В случае коротких стержней необходимо произвести еще и другие преобразования. Следует учесть, что поперечная сила также вызывает прогиб от сдвига. Это проявляется тем резче, чем короче стержень. Рассмотрим вывод полного уравнения. [c.78] Если на стержень действует внешняя нагрузка — q x, t), то к правой части уравнения (с) добавляется еще элементарная сила [—q x, t)]dx. Если стержень колеблется в однородной упругой среде, которая характеризуется коэффициентом жесткости / , то реакция среды проявляется как удельная нагрузка %. В данном случае к правой части уравнения (с) присоединяется другой элементарный член kydx. [c.79] Отнощения, необходимые для определения со, вытекают из четырех граничных условий, которым подчиняются решения уравнения (2.90Ь) и из требования, чтобы функция У(х) не была тождественно равна нулю (тривиальное решение). Совокупность функций Yix), из которых каждая соответствует одной собственной (критической) величине со, обычно линейно независимых и ортогональных, представляет собой основные формы свободных (собственных) колебаний стержня. [c.80] Если в уравнениях (а), (Ь), (с) и (d) исключить, Си то для определенных значений Л можно найти остальные неизвестные Сг, Сз, и таким образом определить основную форму колебаний, соответствующую заданной основной величине Л . Основных форм, так же как корней Л , бесконечно много. [c.82] Аналогично рассмотренному случаю призматического стержня, один конец которого защемлен, можно было бы вычислить собственные величины и при других способах закрепления концов стержня. Собственные значения для нескольких важных случаев приведены в табл. 3. [c.82] На основании приведенных данных вычисляется собственная частота по формуле (2.90с). Из табл. 3 следует, что собственная частота имеет одинаковое значение как у стержней со свободными концами, так и с защемленными, если при этом не учитывается собственная нулевая частота, которую имеет только стержень со свободными концами. Кроме того, из таблицы следует, что независимо от способа закрепления концов высшие значения собственных частот колебаний приближаются друг к другу. [c.82] Двучлены при постоянных С называются иногда функциями Релея и обозначаются по порядку через С, с, S, s. Задачи собственных или свободных колебаний стержня принадлежат к категории задач о собстпенных значениях [211. [c.83] Отличительным свойством некоторых задач о со. ственных значениях является их самосопряженность [37], из которой непосредственно вытекает ортогональность собственных функций (основных форм колебаний). Еслн, согласно Л. Коллатцу, придать данному дифференциальному уравнению форму M[y]=XN y), где X является параметром, который при нулевых решениях урап-иения приобретает собственные з) ачения, то 7акого рода задачу называют самосопряженной. [c.83] Если интегрировать его по частям и если учесть, что и, а и и, v равны нулю при х=0, х=1, то при этих граничных условиях задача является самосопряженной. Очевидно, что из произвольных функций и, а, удовлетворяющих граничным условиям, можно выбрать собственную функцию (основную форму), так как она также удовлетворяет граничным условиям и, помимо того, соответствует данному дифференциальному уравнению. [c.84] Вернуться к основной статье