ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вынужденные колебания балок, имеющих нелинейные граничные условия из "Нелинейные колебания элементов машин и сооружений " Несмотря на то, что в дальнейшем будем проводить решение для нелинейного граничного условия конкретного вида, это решение покажет общую методику, которая состоит в том, что сначала следует удовлетворить линейным граничным условиям. Последние определят вид функций i 3j и ilJa. Затем их следует поставить в условия сопряжения. В результате будет получена система четырех линейных уравнений (в данном случае) относительно Bj, Dj, и Dj. Величина Лд будет являться лишней неизвестной, ее следует принять за некоторый параметр. Далее следует решить систему относительно В , D , и D , считая Ла как бы известным параметром. [c.33] В функциях tj) (x) и г1)2 (x) параметр является пока неопределенной величиной. Он определится нелинейным граничным условием. [c.35] Заметим, что развитая методика позволяет решать задачу о вынужденных колебаниях в случае любой нелинейной характеристики в опоре, так как все предыдущие выкладки можно воспроизвести для балки, имеющей три различные (любые) линейные граничные условия и одно (четвертое) любое нелинейное граничное условие. [c.35] При наличии у балки двух нелинейных граничных условий следует также составить функции (х) и ijJa (х), но они теперь будут зависеть уже от двух параметров (постоянных), которые определятся из системы двух последних (нелинейных) уравнений. Следует подчеркнуть, что использовать нелинейные граничные условия можно только лишь произведя предварительно их линеаризацию. Это было обосновано выше при исследовании свободных колебаний. [c.35] Это уравнение и определяет неизвестный параметр А j, так как полностью определяется через фг (1) или А 2 (в разных случаях по-разному). [c.36] Для исследования свойств вынужденных нелинейных колебаний балок рассмотрим их при наиболее типичных нелинейных граничных условиях. [c.36] Вынужденные колебания балки, имеющей в опоре характеристику Р = СзР(1). Выше были получены общие выражения (I. 91) и (I. 92) для прогиба балки, имеющей в левой опоре шарнир, а на правом конце — любую нелинейную опору. Отметим, что соответствующие выражения для прогибов можно найти аналогичным путем и в других случаях закрепления концов балки. [c.36] Как известно, вычисление корней уравнения (I. 97) можно производить различными методами. Будем определять корни через вспомогательные величины [9]. [c.36] Знак г в вычислениях должен совпадать со знаком q. Тогда вспомогательная величина ф и при ее помощи корни А 21, Л 2п и Л зш определяются в зависимости от знаков р и величины D = р + 7 по табл. 1. [c.37] В табл. 1 мнимые корни не приводятся, так как они в данном случае не представляют интереса. [c.37] Некоторые решения для прогибов могут быть неустойчивыми. На фиг. 18 представлена зависимость Л 2 от а она же показывает ход изменения прогибов балки в точке нелинейной опоры в зависимости от частоты возмущающей силы со, так как Ф2 (О = 2Л2. [c.37] Особенно наглядным является изменение амплитуды колебаний балки в точке нелинейной опоры в зависимости от частоты возмущающей силы. Интересна такая же характеристика и для точки X = а, в которой приложена внешняя возмущающая сила. [c.38] Уравнение (I. 101) и будет теперь определять параметр А . [c.40] На фиг. 20 представлена зависимость параметра А или прогиба балки в точке нелинейной опоры в зависимости от частоты возмущающей силы (напомним, г 2 (1) = 2А . [c.40] Для получения прогибов балки выражение (I. 103) следует подставить в уравнения (I. 91) и (I. 92). [c.43] По уравнениям (I. 91) и (I. 92) можно построить и соответствующие резонансные кривые для любой точки балки. Определенный интерес имеет резонансная кривая для точки приложения возмущающей силы (в точке х = а)-. [c.44] Его решение следует выполнять описанным выше графическим методом. [c.45] В этом случае можно быстро найти (1) = f (а), а следовательно, и прогибы в любой точке балки по уравнениям (I. 91) и (I. 92). До тех пор, пока реакция в опоре будет меньше силы предварительного сжатия пружины U , решение следует строить обычным способом, считая опору абсолютно жесткой. Чтобы наглядно представить эффект нелинейного демпфирования балки, следует с помош,ью решений (I. 91) и (I. 92) получить прогибы балки в точке приложения силы X = а) при возникновении прогибов в опоре (когда преодолевается сила предварительного сжатия пружины). Для точки X = а следует найти картину изменения амплитуд от частоты и при обычной (жесткой) опоре, когда реакция на опоре меньше силы предварительного сжатия пружины U . [c.45] Рассматриваемая характеристика упругости имеет практический интерес с точки зрения создания нелинейных демпферов колебаний лопаток, балок и инженерных сооружений. Этот метод демпфирования в гл. II будет доведен до конструкции нелинейного демпфера критических режимов турбомашин. [c.45] Вернуться к основной статье