ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общая постановка задачи теории приспособляемости в статической формулировке. Применение методов линейного программирования из "Несущая способность конструкций в условиях теплосмен " Точные решения задачи (их 0 бычн0 называют полными решениями, поскольку они одновременно удовлетворяют статическим и кинематическим условиям) на основе статической теоремы элементарными способами можно получить только в системах, в которых распределение остаточных напряжений (усилий) может быть выражено пропорционально небольшому числу параметров [141]. [c.62] В последние годы выявилась возможность приближения к точным решениям и в более сложных задачах путем использования методов математического программирования [67, 187]. [c.62] В дальнейшем для определения предельных значений интервалов изменения нагрузок, при которых возможна приспособляемость, строгое неравенство в (2.21) заменим знаком равно или меньше . Это равносильно предположению о том, что приспособляемость возможна, если суммарное напряженное состояние является допустимым а не безопасным a f как принято в (2.13), Такая замена формально затруднила бы доказательство теоремы Мелана, но практического значения сна не имеет, так как может компенсироваться малым изменением предела текучести. [c.62] Задача теории приспособляемости состоит в отыскании такой (удовлетворяющей статическим условиям при нулевых внешних нагрузках) функции самонапряжения pij, которая при ограничении (2.22) обращает в максимум интервал изменения одного из параметров нагрузки (или телшературного поля) при фиксированных интервалах изменения других параметров. Таким путем последовательно может быть определена вся область приспособляемости, граница которой отвечает предельной зависимости между интервалами изменения нагрузок и температурного поля. [c.62] Условие предельного равновесия, записанное в соответствии с аналогичной (статической) теоремой, имеет такой же вид (2.22), отличие состоит в том, что при определении предельной нагрузки рассматривается лишь одно сочетание внешних сил, поскольку предполагается пропорциональное нагрул ение. В связи с тем, что упругие напряжения, отвечающие предельной нагрузке, имеют стационарное значение, отпадает необходимость в их определении. В качестве основных неизвестных могут использоваться суммарные напряжения которые должны удовлетворять уравне нпям равновесия при заданных внешних нагрузках. (В задачах приспособляемости, соответственно, не является обяза- з область воз-тельным вычисление упругих напря- можного изменения па-жений от постоянных составляющих на- раметров нагружение грузок). [c.63] Таким образом, проблема расчета упруго-пластических тел по предельному равновесию и по приспособляемости сводится соответствующими статическими теоремами к специфическим экстремальным задачам, которые заключаются в определении максимумов некоторых (целевых) функций при соблюдении ограничений в виде нервенств (2.22) и уравнений (условий равновесия внутри тела и на его поверхностях). В том случае когда последние представлены в виде системы алгебраических уравнений, задачи этого типа составляют предмет математического программирования (оптимального планирования). [c.63] Наиболее разработанным разделом теории математического программирования является линейное программирование, которое позволяет рассматривать задачу отыскания максимума (или минимума) линейной функции при наличии ограничений в виде линейных неравенств или уравнений. Эта задача формулируется в общем виде следующим образом. [c.63] В рассматриваемых задачах предельного упруго-пластического анализа роль ограничений-неравенств играет условие пластичности (2.22), а ограничений-уравнений — условия равновесия (записанные в виде системы алгебраических уравнений). В соответствии с требованиями линейного программирования те и другие должны быть линейными. Этому удовлетворяет критерий текучести Треска—Сен-Венана (2.7), а при решении задачи в обобщенных усилиях — кусочно-линейные поверхности текучести. [c.64] При анализе условий приспособляемости критерием оптимальности являются пределы изменения одного из воздействий, определяемые в зависимости от заданных пределов других приложенных к телу воздействий. [c.64] Таким образом, специфика задач того и другого типа определяется тем, что в критерий оптимальности входит одна (заведомо неотрицательная) переменная (параметр нагрузки) с коэффициентом, равным единице. Если эту переменную включить в столбец свободных членов системы ограничений в качестве параметра, получим задачу параметрического программирования, в которой критерий оптимальности равен параметру. [c.64] Поскольку методы математического программирования предусматривают численное решение задачи, сплошное тело должно быть заменено дискретной математической моделью. [c.64] Наиболее распространенным методом решения общей задачи линейного программирования в настоящее время является так называемый симплексный метод (симилекс-метод) [67, 187]. [c.65] Таким образом, геометрический смысл задачи линейного программирования заключается в отыскании такой точки в многограннике, которая наиболее (или наименее) уклонена от плоскости (2.27). Ясно, что эта точка совпадает с одной из его вершин. [c.65] С другой стороны, оптимальное решение отвечает такому наименьшему (наибольшему) значению целевой функции (2.23), при котором система ограничений становится несовместной. Это полностью соответствует второму утверждению статической теоремы теории приспособляемости (или аналогичному утверждению статической теоремы теории предельного равновесия [81]). [c.65] Постоянная С определяется из краевого условия. [c.67] В такой формулировке (применительно к условиям предельного равновесия) при размере матрицы (2.33) или (2.34) задача линейного программирования решается с помощью ЭВМ симплекс-методом с использованием модифицированных жордановых исключений [67]. С учетом возможностей ЭВМ Минск-1 и Урал-2 при решении на основе программы симплекс-метода, составленной по алгоритму, данному в работе [67], можно иметь, соответственно, 12 и 16 расчетных сечений при размере матрицы (2.33), 19 и 26 — при размере (2.34). Здесь имелись в виду только внутренние запоминающие устройства. При расчете на БЭСМ-2 с применением магнитных барабанов возможности увеличиваются примерно до 40 расчетных сечений [99] при размере матрицы (2.33). [c.68] М(ро— окружной остаточный момент. [c.69] Для определения области приспособляемости значения одного из параметров, например q, последовательно задают (с некоторым интервалом), а значения другого находят из условия оптимальности. Поскольку Мо, Мф , Мфр заданы численно (последние— с точностью до неотрицательного параметра), в каждом расчетном сечении оказывается возможным из 8 неравенств (2.36) найти два определяющих — те, которые отвечают наименьшему значению в правом и наибольшему в левом столбцах. Эта операция может быть выполнена вручную или с помощью специальной подпрограммы на ЭВМ. [c.69] Произведя аналогичные преобразования и отбор неравенств, отвечающих первому и третьему условию (2.28), приходим к системе ограничений-неравенств, вполне аналогичной по своему объему (2.28). Последующие упрощения, о которых шла речь выше, приводящие к матрице системы ограничений размером (2.33), или (2.34), при этом остаются в силе. [c.69] Результаты расчета рассмотренной пластинки, полученные с помощью ЭВМ на основе специальной программы симплекс-метода, приведены в гл. VI. [c.70] Вернуться к основной статье