ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Краткие сведения из теории устойчивости движения из "Динамические расчеты цикловых механизмов " В предыдущих параграфах этой главы была освещена методика составления дифференциальных уравнений движения, являющихся математической моделью исследуемой динамической задачи. Приемы построения решений этих уравнений применительно к цикловым механизмам будут освещены в последующих главах. Однако следует иметь в виду, что не все полученные решения могут быть реализованы, так как среди них встречаются решения, отвечающие неустойчивым режимам. [c.72] Дадим несколько предварительных пояснений, связанных с термином устойчивость. Если называть возмущенным движением движение с измененными начальными условиями, то устойчивость можно рассматривать как свойство возмущенного движения сколь угодно мало отличаться от невозмущенного при достаточно малых начальных возмущениях. Если к тому же движение при t — оо стремится к невозмущенному, то оно называется асимптотически устойчивым. [c.72] Практическая важность этих понятий следует, во-первых, из того, что движение реальных систем не может быть точно описано. Отклонения же, вызванные этими неточностями, можно расценивать как возмущения, которые в случае неустойчивости приведут к существенным искажениям полученного решения при этом оно как физически нереализуемое полностью обесценивается. [c.72] Кроме того, при неустойчивом движении, являющемся по сути дела неуправляемым, любое случайное возмущение на достаточно большом отрезке времени может в некоторых случаях привести к аварийным последствиям. [c.72] Хотя в этих определениях речь идет лишь о возмуш,ениях, связанных с изменением начальных условий, доказано, что выполнение сформулированных условий асимптотической устойчивости справедливо и при других видах возмуш,ений [57]. [c.73] Согласно теореме Ляпунова об устойчивости движения по первому приближению, если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то невозмуш нное движение асимптотически устойчиво независимо от членов выше первого порядка малости. [c.73] Случаи, когда коэффициенты дифференциальных уравнений зависят от времени, будут подробно рассмотрены в дальнейшем. [c.75] Прямой (или второй) метод Ляпунова относится к группе методов, при которых условия устойчивости определяются только на основе однородной системы уравнений без использования их решений [56, 57, 59]. А. М. Ляпунов ввел в рассмотрение некоторую функцию V q, q,. . ), называемую функцией Ляпунова Функция V называется знакопостоянной, если она кроме нулевых значений может принимать значения только одного знака. Знакопостоянная функция, принимающая нулевые значения только при равенстве,нулю всех ее переменных, называется знакоопределенной. На основании первой теоремы, доказанной А. М. Ляпуновым, если дифференциальное уравнение свободных колебаний таково, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V, вычисленная согласно этому уравнению, была бы знакопостоянной функцией противоположного знака с V или тождественно равной нулю, то равновесное состояние устойчиво. [c.75] Вторая теорема Ляпунова по исходным условиям отличается от первой тем, что в ней требуется, чтобы производная V была функцией знакоопределенной, противоположного знака с V, причем утверждается, что в этом случае имеет место асимптотическая устойчивость. [c.75] Трудности практического использования прямого метода Ляпунова нередко связаны с тем обстоятельством, что в общем случае неизвестен способ построения функции Ляпунова. Ряд приемов построения этой функции разработан при введении некоторых ограничений, которым в каждом конкретном случае соответствует область применения полученных при этом результатов [57, 591. [c.75] Рассмотрим следующий простой пример, поясняющий процедуру проверки условий устойчивости этим методом. [c.75] В соответствии со второй теоремой для удовлетворения условий асимптотической устойчивости следует потребовать F С 0. Отсюда, как и следовало ожидать, п 0. [c.76] 21 этот метод будет использован применительно к некоторым задачам динамического синтеза цикловых механизмов. [c.76] Вернуться к основной статье