ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нелинейные задачи изгиба пластин из "Механика тонкостенных конструкций Статика " Изложенная в гл. 1 и в предыдущих параграфах данной главы линейная теория изгиба пластин справедлива лишь при малых по е.равнению с толщиной пластины прогибах. Основной причиной, ограничивающей применимость линейной теории, является то обстоятельство, что усилия, возникающие в срединной поверхности при больших прогибах, начинают еущеетвенно влиять на изгиб пластины. Влияние это становится заметным тогда, когда указанные усилия достаточно велики (существенно больше поперечных сил), Здесь имеется аналогия с продольно-поперечным изгибом стержней. (Влияние продольных сил в стержне на его изгиб существенно только тогда, когда продольные еилы по порядку величины сравнимы с критической силой). [c.110] Поэтому при изучении нелинейной теории изгиба пластин при больших прогибах мы будем считать еилы, возникающие в срединной поверхности, большими по сравнению q поперечными силами (так как в противном случае справедлива линейная теория). [c.110] Отнесем пластину к неподвижной декартовой системе координат, оси х и г/ которой лежат в срединной плоскости не-деформированной пластины. [c.111] Величина, стоящая в правой части равенства (2.111) в прямых скобках, представляет собой гауссову кривизну деформированной поверхности пластины (см 19). [c.112] Для определения деформаций в слое плавтинш, находящемся на расстоянии г от срединной поверхности, к деформ,ациям е ., Еу, у у нужно добавить величины деформаций, ввязанных б искривлением срединной плоскости. Эти деформации выражаются через углы поворота нормали по формулам (2.3), причем ввиду малости перемещений и, v углы поворота связаны только в перемещением ш ависимостями (2.1). [c.113] Напряжения, возникающие в сечениях пластины, связаны е деформациями соотношениями закона Гука. Приводя эти напряжения к срединной поверхности пластины, можно обнаружить, что в отличие от случая малых перемещений в сечениях пластины возникают не только изгибающие и крутящие моменты, но и нормальные силы Гд,, Ту и сдвигающая S y. [c.113] Кроме того, в сечениях х = onst и. у = onst возникают поперечные силы Q,,, Qy, которые, как и в линейной теории, могут быть определены только из условий равновесия. [c.114] Рассмотрим сумму проекций сил на направления осей х и у в срединной поверхности. [c.114] Рассмотрим теперь сумму проекций приложенных к деформированному элементу сил на нормаль к срединной поверхности. [c.114] К этой величине надо добавить проекции поперечных сил и нагрузки, которые определяются так же, как в линейной теории. [c.115] Уравнения (2.119) и (2.121) являются основными уравнениями вадачи о больших прогибах пластин. Эти уравнения, полученные Карманом, образуют нелинейную систему восьмого порядка. [c.116] Точное аналитическое решение этой системы получено лишь для самых простых задач, в частности для одномерного (цилиндрического) изгиба полосы, В других случаях используют численные или вариационные методы расчета. [c.116] Рассмотрим сначала цилиндрический изгиб пластины, заделанной по противолежащим кромкам и нагруженной равномерным давлением (рис. 2.32), Поперечный размер пластины предполагается весьма большим, так что пластина изгибается по цилиндрической поверхности w = w (х). Усилие постоянно по величине, и из условия = О следует Ту = Т,. [c.116] При этом радиальное и окружное усилия связаны е функцией усилий г)з соотношением . [c.119] Многочисленные (но весьма громоздкие) аналитические приемы приближенного решения уравнений (2.126) рассмотрены в книге [49]. Наиболее эффективным, однако, является численное интегрирование этих уравнений. Чтобы рассмотреть качественную сторону поведения пластины при больших прогибах, ограничимся весьма грубым приемом приближенного решения уравнений (2.126) с помош,ью метода Бубнова—Галеркина в первом приближении. [c.120] Рассмотрим круглую равномерно нагруженную пластину. [c.120] Теория оболочек, основанная на перечисленных гипотезах, была разработана А. Лявом [37]. Сами эти гипотезы получили в литературе название гипотез Кирхгоффа—Лява. [c.123] Исходные уравнения рассматриваемой в настоящей главе теории могут быть получены. как частный случай общей теории оболочек (ем. гл. 5). Однако простота и практическая важность методов расчета осесимметричной деформации оболочек послужили основанием для выделения этих методов в отдельную главу. [c.123] Вернуться к основной статье