ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вариационные методы расчета пластин из "Механика тонкостенных конструкций Статика " Точные решения задачи изгиба пластин могут быть получены лишь в - некоторых частных случаях, преимуш,ественно для пластин постоянной толщины простой конфигурации и при определенных видах граничных условий. Применение вариационных методов расчета является эффективным средством определения прогибов пластин в более сложных случаях. [c.96] Наиболее часто в практике используют расчеты, основанные на вариационном принципе Лагранжа. Выше, в 5 этот принцип был использован для вывода фференциального уравнения изгиба пластины и граничных условий. Ниже будет рассмотрено применение некоторых прямых методов вариационного исчисления (метода Ритца, метода Бубнова—Галеркина и метода Канторовича). [c.96] Так как V является квадратичным, а V — линейным функционалами от W, то уравнения (2,84) представляют собой систему линейных неоднородных уравнений относительно С,-. Решение этой системы, будучи подставленным в формулу (2.80), и дает решение поставленной задачи. [c.97] Если координатные функции Wi образуют полную систему функций, то бесконечный ряд (2.80) с коэффициентами, найденными из уравнений (2.84), представляет собой точное решение. [c.97] Определим с помощью метода Ритца прогиб заделанной по контуру прямоуголь-ной пластины постоянной толщины, нагруженной равномерной нагрузкой. [c.97] Точное значение моментов в этой точке в 1,42 раза меньше [50]. При Ь/а— оо точное значение момента М, в центре пластины в 1,62 раза меньше приближенного. [c.100] Отсюда следует, что для надежного определения напряжений в пластине на основе метода Ритца необходимы, как правило, высшие приближения. [c.100] Так как при выборе координатных функций следует учитывать лишь геометрические граничные условия, метод Ритца является весьма эффективным для расчета пластин со свободными краями, пластин с вырезами, а также пластин переменной толщины и подкрепленных пластин. [c.100] Потенциал внешней нагрузки V = Pwq, где ау,, — величина прогиба в точке приложения силы Р, подсчитанная по формуле (2.91). Довольно громоздкие вычисления не представляют каких-либо принципиальных трудностей и позволяют определить прогибы, а в дальнейшем и изгибающие моменты с тем большей точностью, чем больше учитывается слагаемых ряда (2.91). [c.100] Если пластина имеет вырезы (рис. 2.27), то расчет выполняют точно так же, но площадь отверстий исключают из области интегрирования при подсчете потенциальной энергии деформации. [c.100] Для пластин сложной конфигурации и с отверстиями удовлетворительные результаты получаются только при подсчете перемещений. Ошибки в определении напряжений велики даже при учете значительного числа членов аппроксимирующей функции. [c.100] Это связано е наличием концентрации напряжений вблизи отверстий. [c.101] В этих случаях наиболее перспективным является метод конечных элементов. Метод конечных элементов (МКЭ) в его наиболее распространенном варианте является разновидностью метода Ритца. [c.101] Суть МКЭ применительно к расчету пластин заключается в том, что пластину разбивают на конечные элементы стандартной формы (обычно — треугольные или четырехугольные). Форму изогнутой поверхности задают в виде полинома не для всей пластины в целом, а для каждого элемента в отдельности. Коэффициенты аппроксимирующего полинома (а следовательно, и энергия деформации элемента) выражаются через перемещения (прогибы, углы поворота) в характерных точках элемента — узлах. [c.101] Так как узлы являются общими для смежных элементов, то в конечном счете энергия деформации всей конструкции выражается через перемещения узлов. [c.101] Внешние нагрузки также приводятся к узлам, так что и потенциал внешних сил оказывается выраженным через узловые перемещения. [c.101] Таким образом, полную энергию системы можно представить как квадратичную функцию п неизвестных перемещений у,, где п — полное число степеней свободы узлов. [c.101] Каждое из уравнений системы (2.92) представляет собой одно из уравнений равновесия какого-либо узла, соответствующее данному его возможному перемещению. [c.101] Число неизвестных и уравнений системы (2.92) равно числу узлов, умноженному на число степеней свободы каждого узла. В зависимости от сложности конструкции число неизвестных может составлять сотни, тысячи или даже десятки тысяч. [c.101] Вернуться к основной статье