ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Твердые волноводы из "Введение в акустическую динамику машин " Акустические волноводы — это упругие среды, в которых благодаря наличию ограничиваюш их поверхностей распространение колебательной энергии происходит лишь в определенных направлениях. Примерами жидких волноводов являются трубы с жидкостью. К твердым волноводам относятся, например, стержни, рассмотренные в главе 5. [c.190] Ниже на примере изгибных волн в упругой полосе излагаются основные закономерности и особенности распространения волн в твердых волноводах, а также освеш ается ряд малоисследованных проблем, с которыми приходится сталкиваться при расчете машинных конструкций, являющихся акустическими волноводами. [c.191] Подставляя решения (6.49), (6..50) в граничные условия на кромках полосы = 1, можно найти неизвестные коэффициенты А, В и дисперсионные уравнения. Рассмотрим распространение изгибных волн в полосах с различными граничными условиями. [c.192] Нетрудно видеть, что волны с отрицательными номерами [п = = О, —1, —2,. ..) в точности совпадают с волнами, имеющими положительные номера. Поэтому в формулах (6.54) — (6.56) индекс п нринимает только положительные значения (и = 1, 2, 3,. , .). Из этого, в частности, следует, что на любой частоте число нормальных волн в полосе бесконечно. [c.192] Дисперсионные кривые антисимметричных волн в этой полосе совпадают с дисперсионными кривыми (6.53) симметричных волн в шарнирно опертой полосе (см. рис. 6.9), а дисперсионные кривые симметричных волн в ней состоят из кривых антисимметричных волн (6.57), изображенных на рис. 6.9 сплошными линиями, и двух прямых Я = Ло и Я =1 фо, соответствующих корням уравнений а = р = 0. Две последние волны имеют свойства волн в безграничной пластине вследствие особенностей граничных условий на кромках полосы. [c.194] Частоты поперечного резонанса зажатой полосы определяются уравнением tg Ыо + th Ыо = О, которое получается из уравнения (6,60) при Я = 0. Приближенно они даются формулой цот ято — я/4. На частотах jio Цо Ло, т+ имеются т нормальных волн с действительными постоянными распространения, так как fiom являются критическими частотами и в них происходит преобразование однородных волн в неоднородные и наоборот. [c.195] ВОЛНЫ неоднородны. При Цо = Цо1 первая нормальная волна становится незатухающей, при Цо = Хо2 появляется вторая однородная волна и т. д. [c.196] При повышении частоты первые мнимые корни переходят в комплексные, затем в критических точках комплексные корни вновь превращаются в мнимые, которые в свою очередь преобразуются либо снова в комплексные, либо в действительные, и т. д. Критические точки, соответствующие переходу корней из мнимой области в действительную, отвечают поперечным резонансным частотам свободной полосы. Уравнения для них tg д,о + th (Хо = О, где знак + соответствует симметричным волнам, получаются из уравнений (6.65) и (6.67) при )ii=iO. Расположение критических точек (они совпадают с экстремумами мнимых ветвей) п общий характер дисперсионных зависимостей на рис. 6.12 во многом аналогичны рассмотренным выше (ср. рис. 6.10 и 6.12). На высоких частотах все действительные ветви стремятся к асимптотам А, = io. Исключение составляют первая симметричная и первая антисимметричная действительные ветви, которые стремятся к асимптоте, отвечающей дисперсии волны рэлеевского типа [192]. [c.199] На рис. 6.10 и 6.12 в плоскости (1шЯ, цо) можно нанести кривые, удовлетворяющие уравнениям sh а sh = О и h а li = = О, совпадающие с дисперсионными кривыми шарнирно опертой полосы (см. рис. 6.9). Эти кривые, пересекаясь, образуют в плоскости (Im , решетку особого вида. Нетрудно убедиться, что дисперсионные кривые волн в зажатой и свободных полосах, т. е. мнимые ветви на рис. 6.10 и 6.12, проходят через узлы этой решетки, образованные пересечением однотипных линий. Дейст-, вительно, в узлах решетки одновременно выполняются равенства shia = sh i=iO пли ha = hp = 0, которые автоматически обращают в нуль левые части дисперсионных уравнений (6.60), 6.63), (6.65) и (6.67). С помощью этой решетки легко начертить приближенно мнимые ветви дисперсии нормальных волн с большими номерами на высоких частотах,, не прибегая к решению точных дисперсионных уравнений. [c.199] Полнота нормальных волн в полосе. При решении ряда практических задач, например при расчете полосы на вынужденные колебания, требуется определить, можно ли произвольную функцию разложить но системе функций, описывающих нормальные волны. Речь идет о свойстве нормальных волн, называемом полнотой. Ниже вопрос полноты изучается на основе общих результатов, полученных М, В. Келдышем [179]. [c.199] Аналогично для четырехкратно полной системы функций И7п(0, у), где п пробегает все номера прямых и обратных волн, можно построить четырехмерные вектор-функции с координатами и (0, Z/), iknWn 0, у), (iA )2u7 (0, у) и iK WniO, у). Совокупность этих вектор-функций образует полную минимальную систему, с помощью которой можно разлагать одновременно четыре произвольные функции, интегрируемые на отрезке [—Н,Н]. [c.201] Шарнирно опертая полоса является простейшей конструкцией, и исследование полноты нормальных волн здесь элементарно. В полосе с другими граничными условиями (свободной, защемленной) исследование полноты сложнее. Однако и в этих случаях имеет место двукратная полнота прямых или обратных волн и четырехкратная полнота всей совокупности нормальных волн. Это также верно и для продольно-сдвиговых волн полосы и, в частности, для волн Лэмба. Строгое доказательство этого положения может быть проведено с помощью результатов работ [179, 180]. [c.201] Для однородных решений статического изгиба полосы это сделано в работах [94, 316]. Физически оно очевидно в полубес-конечной полосе задание пары функций на торце должно однозначно определять поле нормальных волн, что равносильно двукратной полноте и минимальности прямых нормальных волн, а в прямоугольнике для однозначного определения волнового поля нужно задать четыре функции (по две на противоположных срезах), что эквивалентно требованию четырехкратной полноты и минимальности всех нормальных волн. [c.201] Соотношения ортогональности для нормальных волн. При исследовании статики и динамики полосы многие авторы отмечали, что нормальные волны не ортогональны в обычном смысле. Непосредственной проверкой можно убедиться, что интегралы от —Н до Н от произведения функций, описывающих смещения и поворот полосы но поперечной координате для различных нормальных волн, рассмотренных выше, не равняются нулю. Даже в шарнирно опертой полосе нормальные волны не образуют ортогональной системы, так как волны с номерами 2и и 2 — 1 имеют одинаковое распределение смещений по поперечному сечению полосы (см. (6,56) и (6.58)). Это обстоятельство не дает возможности прямо вычислять коэффициенты разложения в ряды но нормальным волнам и затрудняет решение задач на вынужденные колебания. [c.201] Решение многих задач, возникающих в твердых волноводах, в частности расчет их вынужденных колебаний, оказывается возможным, если найдено соотношение ортогональности в более широком смысле. В этом случае результирующее движение волновода можно искать непосредственно в виде разложения в ряд по нормальным волнам, а применение соотношения расширенной ортогональности позволяет вычислять неизвестные коэффициенты разложения. [c.202] Такой подход использовали многие авторы при решении различных задач теории упругости [131, 212, 362], в том числе статических задач для упругой полосы [145, 209, 251, 252, 262]. Общий метод, позволяющий формализовать процедуру получения соотношений ортогональности, был предложен М. В. Келдышем [179]. Он применим для широкого класса практических задач, в которых параметр к входит в дифференциальные уравнения в виде полиномов произвольной степени, но не содержится в граничных условиях. Метод Келдыша обобщается также на случай, когда параметр к входит в граничные условия линейно [52]. В работе [320] показано, что получаемые таким образом соотношения ортогональности тесно связаны с общими интегральными соотношениями теории упругости. [c.202] Дифференциальный оператор L не является самосопряженным. [c.202] Граничные условия для сопряженной задачи получаем из равенства нулю билинейной формы (6.70). Для зажатой по кромкам полосы Ux = ui = 0 при у — Н. Чтобы форма (6.70) обраш алась в нуль, достаточно положить V2 = v 2 = О прп у — Н. Таким образом, для зажатой полосы решения прямой и сопряженной задач совпадают, если произвести замену переменных (6.72). Это верно такн е для свободной полосы и для полос с произвольными однородными граничными условиями. [c.203] Рассмотренные выше методы исследования распространения свободных нормальных волн и вынужденных изгибных колебаний тонкой упругой полосы применимы к большому числу встречающихся на практике твердых волноводов. Общими являются п многие приведенные в этом параграфе закономерности наличие на любой частоте бесконечного числа комплексных нормальных волн, их полнота, расширенная ортогональность, Более подробно с распространением нормальных волн в твердых волноводах читатель может ознакомиться в работах [51—53, 56, 57, 59, 73, 84, 92, 99, 173, 193, 216, 239, 307, 369, 373]. [c.206] Вернуться к основной статье