ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость цилиндрической оболочки при осевом сжатии из "Основы расчета на устойчивость упругих систем " Первые теоретические решения задачи по определению критической нагрузки для сжатой в осевом направлении тонкостенной цилиндрической оболочки (рис. 6.20, а) были даны Лорен-цом и С. П. Тимошенко в начале века. Они считали, что оболочка имеет идеально правильную цилиндрическую форму, а ее начальное напряженное состояние является безмоментным и однородным, и определяли наименьшую нагрузку, при которой наряду с начальным безмоментным состоянием появлялись смежные изгибные состояния равновесия оболочки. Такую постановку задачи устойчивости оболочек называют классической. [c.258] Это уравнение совпадает с линеаризованным уравнением изгиба сжатого прямого стержня, связанного с упругим винклеров-ским основанием (см. 15). Роль изгибной жесткости стержня EJ играет изгибная жесткость оболочки D, а роль упругого основания — жесткость оболочки на растяжение-сжатие в окружном направлении. [c.259] Заметим, что последнее выражение не дает конкретных значений п р и Шкр, а только устанавливает некоторую связь между ними. Таким образом, критической точке бифуркации соответствует целая серия различных комбинаций чисел полуволн, по которым может происходить потеря устойчивости оболочки, включая п р = О, т. е. осесимметричную форму потери устойчивости. [c.261] Как отмечалось, условия (6.52) —единственный вариант граничных условий, допускающих простое аналитическое решение задачи устойчивости цилиндрической оболочки. При других граничных условиях решение системы уравнений (6.71) даже при однородном безмоментном напряженном состоянии резко усложняется. [c.261] Долгое время решение Лоренца и Тимошенко оставалось единственным, описывающим потерю устойчивости упругой цилиндрической оболочки, равномерно сжатой в осевом направлении, й только недавно с помощью ЭЦВМ удалось сделать следующий шаг— рассмотреть задачу при произвольных граничных условиях с учетом неоднородного начального напряженно-деформированного состояния. [c.261] Решение этого уравнения с постоянными коэффициентами найдем в виде W = Ле - sin nq . [c.261] Выразив заданные на торцах оболочки однородные граничные условия (по четыре условия на каждом торце) через функцию w и подчинив последнее выражение этим граничным условиям, придем к системе восьми однородных линейных алгебраических уравнений относительно постоянных Л,-. Условие обращения в нуль определителя этой системы уравнений позволяет найти собственные значения нагрузки Перебирая различные значения числа волн в окружном направлении п, для каждой конкретной оболочки можно найти кр, приводящее к наименьшему собственному значению нагрузки В таком решении машинный счет используется для определения корней характеристического уравнения и для раскрытия определителя восьмого порядка. [c.262] При решении задачи в обычной линейной постановке, когда уравнения равновесия формулируются для недеформированного элемента оболочки, начальный осесимметричный изгиб цилиндрической оболочки описывается уравнением (6.65) с учетом Т . [c.263] При заданных на торцах оболочки граничных условиях для (j ) и Ф (х) численное решение такой системы уравнений аналогично решению уравнения для стержня на упругом основании (см. 15) и не вызывает принципиальных трудностей [12, 23]. [c.264] При малых (по сравнению с единицей) значениях параметра со решение уравнения нелинейного краевого эффекта мало отличается от решения обычного линейного уравнения осесимметричного изгиба цилиндрической оболочки. Но при приближении значения параметра со к единице понятие краевого эффекта теряет силу, так как возмущения, возникающие у торцов оболочки, распространяются на расстояние, значительно превышающее зону обычного линейного краевого эффекта. При о) 1 эти возмущения охватывают всю длину оболочки, а их амплитуды неограниченно возрастают. [c.265] Для исследования устойчивости такой осесимметричной изгиб-ной формы равновесия цилиндрической оболочки можно воспользоваться системой уравнений (6.73), но величины = Wq х) и Т°у Т1 (х) следует определить из решения уравнения нелинейного краевого эффекта. [c.265] Как показывают вычисления, до достижения значения со = 1 появляются неосесимметричные формы равновесия оболочки, смежные с исходной осесимметричной изгибной формой Wq = = Wq (х). На рис. 6.21 показан график зависимости со р от относительной длины оболочки при различных значениях коэффициента Пуассона fx (при граничных условиях Гв) [231. В табл. 6.1. приведены взятые из той же работы значения со р для различных граничных условий при (х = 0,3. [c.265] Но решающая корректировка результата решения задачи устойчивости цилиндрической оболочки в классической постановке связана с учетом отклонений срединной поверхности реальной оболочки от идеально правильной цилиндрической формы, т. е. с учетом так называемых начальных неправильностей или начальных несовершенств. Впервые роль начальных неправильностей обсуждалась и оценивалась в работах Флюгге, Доннела и несколько позже в ряде работ Койтера. Окончательная ясность в этот вопрос внесена сравнительно недавно благодаря работам различных авторов, использовавших машинный счет [23]. [c.266] Вернуться к основной статье