ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Закритическое деформирование упругих стержней из "Основы расчета на устойчивость упругих систем " Линеаризованные уравнения, использованные выше при решении задач устойчивости стержней, дают возможность находить собственные функции задачи и собственные значения параметра нагрузки. Наименьшее собственное значение равно критическому значению нагрузки, а соответствующая ему собственная функция описывает форму изогнутой оси стержня в окрестностях первой точки бифуркации. Но однородное линеаризованное уравнение не может дать никакой информации о характере критической точки бифуркации и о поведении стержня при конечных прогибах после потери устойчивости. [c.118] Аналогично, решая задачи устойчивости энергетическим методом и ограничиваясь в выражении для изменения потенциальной энергии квадратичными по отношению к величинам поперечных перемещений слагаемыми, находили только критические нагрузки и соответствующие им собственные функции. Характер критической точки бифуркации и поведение стержня при конечных прогибах после потери устойчивости оставались неизвестными. Для того чтобы определить их, необходимо рассмотреть задачу устойчивости стержня в нелинейной постановке. [c.118] Задача нелинейного деформирования гибких стержней изучена достаточно полно в ряде случаев решение удается получить в табулированных функциях. Например, для стержня постоянного поперечного сечения, сжатого мертвой силой Р, решение получается в эллиптических интегралах [19]. [c.118] Воспользуемся приближенным энергетическим приемом решения, позволяющим исследовать закритическое поведение любого произвольно нагруженного стержня, если для него известно решение линейной задачи. При этом ограничимся малыми по сравнению с длиной стержня прогибами, поскольку только они представляют интерес в силовых конструкциях. [c.118] Аналогично можно составить выражение ДЭ для любого случая нагружения стержня, когда закритический изгиб происходит без растяжения оси стержня. [c.119] Условие стационарности б (ДЭ) = О определяет равновесные состояния изогнутого стержня при конечных прогибах, а исследование знака второй вариации б (ДЭ) позволяет установить, какие из равновесных состояний устойчивы. [c.119] Приведенные выше зависимости, описывающие закритическое деформирование стержней с нерастяжимой осью, являются точными (в рамках теории гибких упругих стержней). [c.119] Перейдем к построению приближенного решения методом Рзлея—Ритца, Полагаем, что решение линейной задачи (точное или приближенное) получено и, в частности, известна критическая нагрузка и соответствующая ему первая собственная функция задачи i(s). Заметим, что при решении задач устойчивости в линейной постановке различие между координатами х я s исчезает и собственные функции (jt) и б д (х) можно заменить на (s) и (s). [c.119] Подсчитывая с использованием (3.53) изменение полной потенциальной энергии стержня, приходим к простой алгебраической зависимости ДЭ = АЗ ( j). Таким образом, используя метод Рэлея—Ритца, задачу исследования закритического деформирования стержня можно свести к задаче исследования нелинейной системы с одной степенью свободы. [c.120] Анализ устойчивости прямолинейной и изгибной форм равновесия аналогичен предыдущему (рис. 3.27, а). [c.122] Необходимо подчеркнуть, что полученные формулы, а также представленный на рис. 3.27, а график справедливы для стержней переменной жесткости и при произвольных граничных условиях. При различных законах изменения изгибной жесткости EJ = = EJ (s) и разных граничных условиях изменяются критические нагрузки и вид собственных функций -fl i (s). [c.122] Полученный результат можно представить в других координатах. Вместо зависимости нагрузка — амплитуда поперечного прогиба можно построить, например, зависимость нагрузка — сближение торцов стержня Я.. Сближение торцов X складывается из укорочения стержня под действием сжимающей нагрузки и дополнительного сближения торцов, вызванного изгибом стержня. [c.123] Значение определяем в зависимости от вида нагрузки по формуле (3.56) или (3.60). Зависимость Я от сжимающей нагрузки показана на рис. 3.27, б. [c.123] Описанный метод решения может быть использован и в том случае, когда заданными являются не нагрузки, а сближения торцов стержня (например, при нагружении стержня в жесткой испытательной машине). Тогда расчет следует вести в обратном порядке по Я определить Р и затем подсчитать амплитуду поперечного перемещения. При этом все полученные выше расчетные зависимости справедливы. Аналогично можно вести расчет в тех случаях, когда задано не сближение торцов стержня, а повышение его темпера туры при неподвижно зафиксированных торцах. [c.123] Очевидно, напряжения максимальны при s. [c.124] Нетрудно проверить, что при упрощении вида аппроксимирую щейфункции окончательные результаты изменяются незначительно. [c.126] Характер критической точки бифуркации такой же, как и в случае потери устойчивости оси стержня без растяжения. Но количественно закритическое поведение стержня иное после потери устойчивости поперечные прогибы растут не так быстро, как при потере устойчивости стержня без растяжения оси. [c.127] Вернуться к основной статье