ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Связь метода Рэлея—Ритца с методом Галеркина из "Основы расчета на устойчивость упругих систем " Одним из наиболее универсальных методов приближенного интегрирования дифференциальных уравнений является метод Галеркина (или Бубнова—Галеркина ). Рассмотрим схему решения этим методом задач устойчивости, сводящихся к линейным задачам на собственные значения (см. приложение I). [c.71] Эта система уравнений повторяет систему уравнений метода Галеркина (2.82), причем = Р . [c.73] Если в качестве координатных функций gi (х) взята полная система функций, то увеличивая число членов ряда (2.80), можно теоретически с любой степенью точности определить требуемое количество собственных значений Р и построить соответствующие им собственные функции задачи. Но при практическом использовании метода Галеркина, как и метода Рэлея—Ритца, приходится ограничиваться сравнительно небольшим числом членов ряда (2.80). Точность и трудоемкость решения определяются не полнотой системы координатных функций, а тем, насколько удачно выбраны первые функции этого ряда. [c.73] В задачах устойчивости обычно требуется найти первое собственное значение, дающее критическую нагрузку. Поэтому при выборе координатных функций следует стремиться к тому, чтобы первый член ряда точнее отражал характер первой собственной функции решаемой задачи, а все последующие члены ряда играли бы роль уточняющих поправок. Один из наиболее естественных и надежных путей выбора координатных функций состоит в использовании собственных функций родственной самосопряженной и полностью определенной задачи, допускающей точное аналитическое решение. Например, если задача устойчивости сводится к решению уравнения с переменными коэффициентами, то, осреднив значения коэффициентов, можно перейти к вспомогательной задаче с теми же граничными условиями, но с постоянными коэффициентами. Определив систему собственных функций для этой вспомогательной задачи, затем можно их использовать для построения приближенного решения уравнения с переменными коэффициентами. Такой путь решения обычно дает возможность с высокой точностью определять критические нагрузки даже при сравнительно небольшом числе членов ряда (два-три) при этом гарантируется полнота системы координатных функций. [c.73] Метод Галеркина может быть использован для решения не только обыкновенных дифференциальных уравнений, но и уравнений в частных производных. [c.73] Примеры использования метода Галеркина приведены в гл. 3 и 4, где отмечены некоторые недостатки этого метода. [c.74] Это линейное однородное уравнение вместе с однородными граничными условиями описывает изгибную форму равновесия стержня, смежную с исходной. [c.74] Задача устойчивости стержня использована в этом параграфе только для наглядности изложения, и все замечания и выводы носят общий характер. [c.77] Вернуться к основной статье