ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод Рэлея—Ритца в задачах устойчивости из "Основы расчета на устойчивость упругих систем " Метод Рэлея—Ритца является универсальным методом приближенного решения основной задачи вариационного исчисления — задачи определения экстремумов или стационарных значений функционалов. Сущность этого метода состоит в замене задачи поиска стационарных значений функционалов принципиально более простой задачей поиска стационарных значений функций нескольких переменных. [c.64] Определение точек бифуркации и критических нагрузок энергетическим методом сводится к определению стационарных значений некоторых функционалов. Для решения последней задачи может быть применен метод Рэлея—Ритца. Схему использования метода Рэлея—Ритца в задачах устойчивости упругих систем рассмотрим на примере определения критической силы для сжатого прямого стержня. При этом следует иметь в виду, что задача устойчивости стержня выбрана только для наглядности изложения и все этапы ее решения, рассуждения и выводы носят общий характер. [c.65] Штрихом здесь и далее обозначено дифференцирование по х. [c.65] Если система базисных функций Д- (х) полная, то при N — оо решение задачи методом Рэлея—-Ритца сходится к точному решению. Но при практическом использовании метода, когда число членов ряда (2.68) невелико, сходимость к точному решению имеет только теоретическое значение. Значительно важнее удачно выбрать вид первых членов этого ряда. [c.67] В случае применения метода Рэлея—Ритца базисные функции fi (х) должны удовлетворять только геометрическим граничным условиям. Если система базисных функций полная, то при Л/ — оо силовые граничные условия удовлетворяются автоматически. Однако выбирая базисные функции при небольшом числе членов ряда (2.68), удерживаемых в решении, желательно удовлетворять не только геометрическим, но и силовым граничным условиям (особенно для первого члена ряда). [c.67] Переход от задачи определения стационарных значений функционала к задаче определения стационарных значений функции нескольких переменных можно выполнить, минуя аналитическое представление искомой функции v (х). [c.67] Условие существования отличных от нуля решений снова приводит к уравнению типа (2.72), наименьший корень которого дает приближенное значение Р р- Соответствуюш,ее этому корню решение системы уравнений (2.74) приближенно описывает форму изогнутой оси стержня при потере устойчивости. [c.68] Уравнения (2.74) являются уравнением Эйлера для функционала (2.66), записанным через конечные разности. Поэтому намеченный путь решения вариационной задачи с помош,ью конечных разностей фактически сводится к решению дифференциального уравнения Эйлера методом конечных разностей. [c.68] В настоящее время имеется ряд модификаций метода Рэлея— Ритца, специально приспособленных для численного счета на ЭЦВМ. Среди них особо следует отметить метод конечных элементов [34]. [c.68] Использование метода Рэлея — Ритца в сочетании с методом множителей Лагранжа. В описанной выше схеме метода Рэлея— Ритца геометрическим граничным условиям задачи удовлетворяла каждая координатная функция (.к). Но при выборе аппроксимирующих функций можно потребовать, чтобы часть граничных условий была удовлетворена не каждой функцией ряда (2.68), а их суммой. В некоторых случаях такой путь решения удобнее. [c.68] В качестве примера рассмотрим задачу устойчивости стержня, один конец которого защемлен, а другой свободно оперт (рис. 2.9). Граничные условия задачи 1) у (0) =0 2) v (0) = 0 3) v (I) = = 0 4) I. (О = 0. [c.68] Первые три граничных условия являются геометрическими и должны обязательно удовлетворяться при построении приближенного решения задачи методом Рэлея—Ритца. [c.68] Таким образом, погрешность полученного приближенного решения +0,2%. Такая высокая точность объясняется тем, что использованные в решениях функции удовлетворяют не только геометрическим, но и силовым граничным условиям. [c.70] Вернуться к основной статье