ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вариационный принцип теории упругой устойчивости из "Основы расчета на устойчивость упругих систем " Применим эти соотношения при исследовании устойчивости упругого тела, нагруженного системой мертвых сил (см. рис. 2.1). Для простоты рассуждений будем считать, что все внешние силы изменяются пропорционально одному параметру Р, а наложенные связи исключают перемещения тела как жесткого целого. [c.47] Предположим, что состояние равновесия нагруженного тела, соответствующее решению линейной задачи, известно. Это состояние в дальнейшем будем называть начальным невозмущенным состоянием равновесия. Устойчивость равновесия этого состояния исследуем при следующих допущениях. [c.47] Вариационная формулировка условий устойчивости упругого тела может быть получена двумя различными способами (см. 5). Первый способ основан на определении условий, при которых в окрестности начального невозмущенного состояния равновесия может существовать новое возмущенное состояние равновесия, т. е. на определении вариационным методом точек бифуркации начального состояния равновесия. Второй способ связан с непосредственным исследованием устойчивости начального состояния равновесия с помощью теоремы Лагранжа. [c.47] Поскольку в соответствии с принятым допущением (см. 7) изменением размеров тела в докритическом состоянии равновесия пренебрегаем, вместо последних зависимостей получаем выра-жения (2.26). Таким образом, при исследовании устойчивости начального невозмущенного состояния принимаем такую модель до потери устойчивости тело напряжено, но не деформировано. [c.49] Величина а Ux + П ) представляет собой первую специальную вариацию полной энергии в начальном состоянии равновесия, т. е. вариацию, при которой возможные перемещения бы, бу, бш совпадают с перемещениями аи (х, у, z), avi (ж, у, г), аа 1 (х, у, z) [15]. Поскольку такая вариация является частным случаем общей вариации, очевидно, i/i + = 0. Определим условия существования состояний равновесия, смежных с начальным невозмущенным состоянием. Новое возмущенное состояние является равновесным, если первая вариация полной потенциальной энергии в этом состоянии равна нулю, т. е. [c.50] Для того чтобы выяснить, при каких значениях Р начальное состояние устойчиво и при каких его значениях оно неустойчиво, можно воспользоваться вторым путем вывода, полученного выше вариационного принципа (см. 5). [c.51] Критическим является такое значение параметра нагрузки Р р. при превышении которого начальное состояние равновесия перестает быть устойчивым. Поэтому при Р Р р условие (2.39) для любых возможных отклонений не выполняется и, вообще говоря, имеются такие отклонения, при которых АЗ = 0. Следовательно, Ркр можно разыскивать как нижнюю границу тех значений Р, при которых возможны отклонения системы от начального состояния, приводящие к условию ДЗ = 0. [c.51] Следует подчеркнуть, что при Р Ркр полная потенциальная энергия начального состояния не становится максимальной, а только перестает быть минимальной. Поэтому при Р Р р кроме отклонений, приводящих к ДЗ О, возможны отклонения, при которых ДЗ = О и ДЗ 0. [c.51] С учетом зависимостей (2.42) и (2.41) последнее равенство приводит к вариационному уравнению (2.37). Теперь становится ясным, что первое собственное значение параметра нагрузки Р , определяемое из этого уравнения, совпадает с нижней границей значений Р, определяемых зависимостью (2.42), поэтому Р = Р р. [c.52] Из изложенного вытекает практическое правило, обычно используемое при определении критических нагрузок. [c.52] Начальные напряжения rS, Оу, должны быть предварительно определены из решения линейной задачи для начального невозмущенного состояния равновесия тела. Удлинения Sx, е у,. .. и Вх, г у,. .. подсчитываем по формулам (2.26) и (2.27). [c.53] Вариационное условие (2.43) или (2.44), выраженное через начальные напряжения Ох, Оу,. .., т ,. .. с помощью зависимостей типа (2.45) или (2.46), назовем энергетическим критерием устойчивости (вариационным принципом) в форме Брайана. [c.53] Из выражения (2.45) следует, что при Р = О состояние равновесия тела всегда устойчиво, поскольку первый интеграл этого выражения больше нуля при любых комбинациях отклонений 1, Ui, Wj . Величина АЭ может обратиться в нуль и начальное состояние равновесия может стать неустойчивым только при значениях Р, превышающих некоторое критическое значение Р р. [c.53] Как видим, абсолютное значение критических сжимающих напряжений не зависит от размеров тела и равно модулю сдвига в плоскости ху. [c.55] По закону Гука а х = Еъ х, следовательно. [c.55] Для тонких стержней (г,-//) 1 и критическая деформация действительно оказывается малой. Следует еще раз подчеркнуть, что критическая деформация ejp является геометрической характеристикой стержня, не зависящей от модуля упругости материала. [c.56] В заключение необходимо сделать следующее замечание. [c.56] Вернуться к основной статье