ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость упругих систем при комбинированном нагружении из "Основы расчета на устойчивость упругих систем " На рис. 1.20, б в координатах f i, изображена гипербола, описываемая уравнением (1.35). Ближайшая к началу координат ветвь гиперболы, показанная сплошной линией, является границей области устойчивости в данной задаче. Следуя намеченному в предыдущем параграфе пути, можно доказать, что все точки плоскости, лежащие слева от этой ветви, соответствуют устойчивому вертикальному положению стержневой системы, а точки, лежащие справа, — неустойчивому вертикальному положению. В данной задаче (как и в предыдущей) граница принадлежит области устойчивости. [c.32] При нагружении силы и могут возрастать пропорционально одному параметру. В координатах Р- Р такое нагружение описывается лучом, исходящим из начала координат. Так, например, на рис. 1.20, б изображен луч, соответствующий Pi = Ра- Точка пересечения луча с границей области устойчивости А соответствует критической точке бифуркации исходного положения равновесия. [c.32] Решение задач устойчивости такого типа рассмотрено в гл. 3. [c.33] Приравняв нулю определитель полученной системы уравнений, найдем уравнение границы области устойчивости в координатах Pj, Р . [c.33] Вычислим два критических значения (Pi)kp = —(lit 1/Тз). В силу симметрии задачи для силы Р . можно найти два критических значения (Ра)кр = р (— 1 1 13). [c.34] На рис. 1.22, б в координатах РР изображена граница области устойчивости. В данном случае область устойчивости ограничена замкнутой кривой (для дискретной модели стержня это эллипс). Вернувшись к исходной задаче устойчивости упругого стержня (см. рис. 1.21, а), нетрудно установить физический смысл замкнутости найденной границы области устойчивости потерю устойчивости могут вызывать внешние силы Pi и Pj. действующие как вправо, так и влево. [c.34] Этот подход к определению границ областей устойчивости применим для более сложных упругих систем, в том числе для систем с распределенными параметрами. В общем случае граница области устойчивости может состоять из набора прямо-и криволинейных участков, часть из которых принадлежит области устойчивости, а часть — области неустойчивости. [c.34] Общие свойства границ областей устойчивости детально исследованы П. Ф. Папковичем [311. В частности, им доказана важная теорема о выпуклости границы области устойчивости. Согласно этой теореме граница области устойчивости не может быть обращена выпуклостью к области устойчивости. Так, для случая действия на систему двух независимых нагрузок граница области устойчивости может состоять из криволинейных участков, обращенных выпуклостью к области неустойчивости, и отрезков прямых. [c.34] Теоремой о выпуклости области устойчивости часто пользуются для приближенного построения границы области устойчивости. Если известны только отдельные точки этой границы, то соединяя их отрезками прямых, можно получить надежную аппроксимацию истинной границы. (Когда на упругую систему одновременно действуют более двух независимых нагрузок, то аналогичные построения проводят в соответствующем многомерном пространстве). [c.34] Но необходимо подчеркнуть, что теорема о выпуклости области устойчивости (как и остальные теоремы П. Ф. Папковича о границах областей устойчивости) доказывается только для линейной задачи устойчивости. Эта теорема верна, если докритическое напряженно-деформированное состояние упругой системы определено по линейной теории и при расчете на устойчивость докритические перемещения системы не учитываются. В противном случае граница области устойчивости может иметь участки, обращенные выпуклостью в сторону области устойчивости [23]. Более того, в общем случае, когда для описания докритического состояния упругой системы необходимо использовать нелинейную теорию, области устойчивости могут иметь самые причудливые очертания. [c.34] Вернуться к основной статье